Лекция 7. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Приложения

к нахождению пределов.

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть еще . Тогда внутри сегмента найдется точка , такая, что значение производной в этой точке равно нулю.

Док-во. Т.к. функция непрерывна на сегменте , то по второй теореме Вейершрасса эта функция достигает на этом сегменте своего максимального значения и своего минимального значения . Возможны два случая: 1) ; 2) . В случае 1) Поэтому производная равна нулю в любой точке сегмента . В случае , поскольку , можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений или достигается функцией в некоторой внутренней точке сегмента . Но тогда функция имеет в этой точке локальный экстремум. Поскольку функция дифференцируема в точке , то по теореме необходимое условие экстремума дифференцируемой функции, получим . Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы: если крайние координаты кривой равны, то найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри сегмента найдется точка , такая, что справедлива формула

. (1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Док-во. На сегменте рассмотрим вспомогательную функцию:

. (2)

Будут ли для функции выполнены все условия теоремы Ролля: Функция непрерывная на сегменте (как разность и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента имеет производную:

Из формулы (2) очевидно, что .

По теореме Ролля внутри сегмента найдется точка , такая, что

(3)

Из равенства (3) вытекает формула Лагранжа (1). Ч.т.д.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, а она в свою очередь является частным случаем теоремы Коши. Обобщим теорему Лагранжа.

Теорема Коши. Если каждая из двух функций и непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная всюду внутри сегмента , то внутри этого сегмента найдется точка , такая, что справедлива формула

(4)

Док-во. Сначала докажем, что Если бы это было не так, то для функции были бы выполнены на сегменте все условия теоремы Ролля и по этой теореме внутри сегмента найдется точка , такая, что . А это противоречит условию теоремы. . Рассмотрим вспомогательную функцию

. (5)

В силу требований, наложенных на функции и , функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, очевидно, что . Т.о., для выполнены все условия теоремы Ролля. По этой теореме внутри сегмента найдется точка , такая, что

. (6)

Имея в виду, что и используя (6), будем иметь

. Учитывая, что , из последнего равенства получим формулу Коши (4). Ч.т.д.

Раскрытие неопределенностей вида .

Отношение двух функций представляет собой при неопределенность вида , если . Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предельное значение (при условии, что это предельное значение существует).

Теорема (правило Лопиталя). Пусть выполнены следующие условия:

1)функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки );

2) ;

3) в указанной окрестности точки (кроме, быть может, самой точки );

4) существует .

Тогда существует и он равен , т.е. справедливо равенство

=. (6)

Док-во. Пусть - произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к и состоящая из чисел, отличных от . Будем рассматривать эту последовательность, начиная с того номера , с которого все принадлежат окрестности точки , указанной в формулировке теоремы. Доопределим функции и в точке , положив их равными нулю в этой точке. Тогда, очевидно, и будут непрерывными на всем сегменте и дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, всюду внутри этого сегмента. Т.о. для и на сегменте выполнены все условия теоремы Коши. Согласно ей внутри сегмента найдется точка , такая, что

(7)

Учитывая, что по доопределению , мы перепишем формулу (7) так:

(8)

Пусть в (8) . Тогда, очевидно, . Но т.к. мы предположили существование предельного значения 4), правая часть (8), при обязана стремиться к этому предельному значению. Тогда существует предел и левой части (8). По определению предельного значения функции этот предел равен . Т.о. в пределе при равенство (8) переходит в равенство (6). Ч.т.д.

Замечание. Теорема Лопиталя легко переносится на случай, когда стремится не к конечному числу, а к бесконечному пределу .

Пусть выполнены следующие условия:

1)функции и определены и дифференцируемы на полупрямой ;

2) ;

3) ;

4) существует .

Тогда существует и он равен , т.е. справедливо равенство

=.

Раскрытие неопределенностей вида .

Отношение двух функций представляет собой при неопределенность вида , если

. (9)

Для раскрытия этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное теореме Лопиталя, а именно: если в формулировке теоремы заменить требование на условие (9), то теорема остается справедливой.

Неопределенности других типов () можно свести к неопределенностям типа или и затем применять правило Лопиталя.

Пример 1. Найти .

Данный предел является неопределенностью типа . Проверим выполнимость условий теоремы Лопиталя:

1) функции и определены и непрерывны в окрестности точки ;

2)

3) в окрестности точки ;

4) =

Следовательно, по теореме Лопиталя, .

Иногда для раскрытия неопределенностей приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз.

Пример 2. Найти .

Этот предел является неопределенностью типа . Условия 1)-3) теоремы выполнены. Тогда

.