Лекция 6. Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная и дифференциал сложной функции. Таблица производных.

Теорема. Если каждая из функций и дифференцируема в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы

Док-во. Докажем, например, первую формулу.

Пусть . Обозначив символами и приращения функций , и в данной точке соответствующие приращению аргумента . Тогда, очевидно,

Таким образом, при

. (1)

Пусть теперь . Тогда в силу существования производных функций и в точке существует предельное значение правой части (1), равное . Стало быть, существует предельное значение (при ) и левой части (1). По определению производной указанное предельное значение равно , и мы приходим к требуемому равенству . Ч.т.д.

Пусть строго монотонна и непрерывна на данном интервале и пусть является дифференцируемой в точке. Значит,

существует конечная производная . Тогда при , обратная функция дифференцируема в соответствующей точке , причем для производной обратной функции выполняется следующее равенство

. (2)

Пример. Пусть . Эта функция строго возрастает, непрерывна и ее производная не равна нулю для . Поэтому дифференцируема обратная функция во всех точках .

По формуле (2) получим

Ясно, что на концах отрезка производная арксинуса равна бесконечности.

Пусть функции и образуют сложную функцию и пусть внутренняя функция дифференцируема в точке , а внешняя функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция будет дифференцируемой в точке , причем для ее производной в этой точке выполняется равенство

Пример.

Пусть положительная и дифференцируемая в данной точке . Тогда в этой точке существует ). Рассматривая как сложную функцию аргумента , мы можем вычислить производную этой функции в данной точке, принимая за промежуточный аргумент. Получим

(3)

Величина, определяемая формулой (3), называется логарифмической производной функции в данной точке .

Пример. Вычислим логарифмическую производную так называемой степенно-показательной функции

. (4)

Эта функция определена и непрерывна для всех значений , для которых и непрерывны и . Теперь мы дополнительно потребуем, чтобы и были дифференцируемы для рассматриваемых значений . Прологарифмируем (4) по основанию : и поэтому

. (5)

Из равенства (5), учитывая, что , получим следующую формулу для производной степенно-показательной функции

Нам надо заполнить таблицу производных простейших элементарных функций. Вычислим, например, производную степенной функции с произвольным вещественным показателем . Имея в виду, что всюду на полупрямой функция положительна, вычислим логарифмическую производную этой функции. Так как