Лекция 5. Определение производной. Дифференцируемость и дифференциал функции. Связь с непрерывностью.

Пусть определена на и . Тогда разность называется приращением аргумента, а разность (при ) называется приращением функции.

Опр. Производной в точке называется следующий предел:

.

Заметим, что этот предел может не существовать (в этом случае и производная не существует); а также может равняться некоторому конечному числу или любой бесконечности :.

Примеры. 1) . Тогда

- конечное число.

2) . Тогда

. Значит, .

3) 1) . Тогда

не существует и, следовательно, не существует . Действительно, получаются разные односторонние пределы:

.

Физическая интерпретация. Предположим, что функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии. Тогда разностное отношение

(1)

определяет среднюю скорость точки за промежуток времени от до . В таком случае, производная , т.е. предел разностного отношения (1) при , определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Чтобы не создалось впечатления, что понятие производной используется только в механике, приведем примеры из других разделов физики:

Пусть функция определяет количество электричества , протекающего через поперечное сечение проводника за время . В этом случае производная будет определять силу тока, проходящего через поперечное сечение проводника за время ;

Рассмотрим процесс нагревания некоторого тела. Предположим, что функция определяет количество тепла , которое нужно сообщить телу для нагревания этого тела от до . Тогда, как известно из курса элементарной физики, разностное отношение (1) определяет среднюю теплоемкость тела при нагревании его от до . В таком случае производная , т.е. предел разностного отношения (1) при , определяет теплоемкость тела при данной температуре .

Геометрическая интерпретация. (Сделать чертеж). Если через обозначить произвольное приращение аргумента, а символом обозначить точку на кривой с координатами , то касательную, проходящую через точку данной кривой, мы определим как предельное положение секущей при . Из рис. ясно, что угловой коэффициент секущей (т.е. тангенс угла наклона этой секущей к оси ) равен разностному отношению (1). Из этого факта и из того, что в пределе при угол наклона секущей должен переходить в угол наклона касательной, мы делаем вывод, что производная равна угловому коэффициенту касательной в точке к графику функции .

Пусть определена на и пусть.

Опр. Тогда функция называется дифференцируемой в точке , если для приращений аргумента и функции выполняется следующее соотношение:

, (2)

где не зависит от ; (при ).

Опр. Если дифференцируема в данной точке , то произведение из соотношения (2) называется дифференциалом функции в точке ; дифференциалом аргумента называется его приращение, т.е. - дифференциал аргумента.

Дифференциал функции обозначается так: , значит,

.

Теорема. Для дифференцируемости в точке н. и д., чтобы существовала конечная производная . При этом .

Теорема. Если функция дифференцируема в данной точке , то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Так как функция дифференцируема в данной точке , то ее приращение в этой точке может быть представлено в виде (2). Но из этой формулы вытекает, что , т.е. функция непрерывна в точке в силу разностной формы условия непрерывности.

Возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное этой теореме, т.е. вытекает ли дифференцируемость функции из ее непрерывности? Нет. Примером является функция . Она непрерывна в точке , но не является дифференцируемой в этой точке.