Лекция 4. Эквивалентные функции. Раскрытие неопределенностей.

Непрерывность. Точки разрыва. Свойства непрерывных в точке функций. Свойства непрерывных на отрезке функций. Элементарные функции и их непрерывность.

Как мы доказали, , хотя и стремятся к нулю. Это говорит о том, что две функции и ведут себя одинаково при или говорят в окрестности точки 0.

Аналогично, будем сравнивать любые две функции и , если они будут определены, хотя бы в некоторой проколотой окрестности .

1. Пусть функции и определены в некоторой . Тогда называется ограниченной относительно в окрестности точки и пишут: при , если

.

Например: 1) для любого в некоторой , поэтому

при .

2) , . Тогда ясно, что для любого в некоторой , поэтому при .

Пусть и определены в некоторой окрестности . Тогда называется бесконечно малой функцией относительно функции и пишут: при , если существует бес конечно малая в окрестности точки функция , такая что для любого .

Пример. Пусть, , . Тогда

Здесь при (б.м.ф). Поэтому при .

Если при и обе функции и сами являются б.м. функцией в окрестности точки , то называется б.м. функцией более высокого порядка, чем .

Опр. Пусть и определены в некоторой окрестности точки . Тогда эти функции называются эквивалентными в окрестности этой точки и пишут ~ при , если существует функция , определенная в некоторой окрестности , для которой в этой окрестности выполняется равенство , причем . Если функции не обращаются в нуль в некоторой , то существует простой критерий эквивалентности функций. В этом случае при тогда и только тогда, когда выполняется равенство

.

С использованием этого критерия и известных замечательных пределов, составим следующую таблицу эквивалентности функций в окрестности нуля:

1) ~ ; 5) ~ ;

2) ~ ; 6) ~ ;

3) ~ ; 7) ~ ;

4) ~ ; 8) , то ~ , .

Пусть функция , .

Опр 1 . Функция называется непрерывной в точке по множеству , если выполняется следующее условие

. (1)

Очевидно, что если , то неравенство выполняется. Т.о., если в окрестности точки нет других точек из множества кроме самой точки , то условие (1) выполняется, а такие точки называются изолированными. Теперь если - предельная точка множества , то условие (1) равносильно выполнению равенства .

Опр 2 . называется непрерывной в точке , если

. (2)

Примеры. 1) . Функция будет непрерывной, так как . Мы воспользовались определением 2.

2) .

.

Т.о. функция непрерывна.

Пусть определена в некоторой левой окрестности , , точки .

Опр. Будем говорить, что непрерывна в точке слева, если выполняется неравенство

. (3)

Пусть определена в некоторой правой окрестности , , точки .

Опр. Будем говорить, что непрерывна в точке справа, если выполняется неравенство

. (4)

Как известно, для существования передела функции н. и д., чтобы существовали односторонние пределы и они были бы равны между собой. Поэтому для того, чтобы функция была непрерывна в т. , н. и д., чтобы выполнялось равенство

.

Убедимся, что арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.

Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , и непрерывны в точке (частное при условии ).

Док-во. Так как непрерывные в точке функции и имеют в этой точке предельные значения и , то в силу теоремы 1 из предыдущей лекции, предельные значения функций , , и существуют и равны соответственно , , и . Но эти величины как раз и равны частным значениям перечисленных функций в точке . Ч.т.д.

Сложные функции определяются следующим образом. Пусть функция задана на множестве , и пусть на множестве значений этой функции задана функция . Тогда на множестве задана сложная функция

, где

или .

Теорема. Если внутренняя функция непрерывна в некоторой точке , а внешняя функция непрерывна в соответствующей точке , то сложная функция будет непрерывной в точке .

Док-во. В силу непрерывности внешней функции

.

В силу непрерывности внутренней функции для этого числа

.

У нас - некоторое значение и , поэтому выполняется неравенство . Отсюда по непрерывности внешней функции выполняется неравенство , т.е. .

Итак, получили:

,

т.е. сложная функция непрерывна в точке .

Пример. Функция непрерывна в любой точке

Опр. Функция , называется непрерывной на данном множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Простейшими элементарными функциями обычно называют следующие функции:

.

Основные элементарные функции непрерывны в области своего определения. При этом непрерывность обратных функций можно вывести из непрерывности прямых функций с использованием теоремы о существовании непрерывной обратной функции.

Например, из непрерывности показательной функции , на интервале , ввиду ее строгой монотонности, следует существование обратной функции которая будет непрерывна на . (- является областью значений функции .

Аналогично можно установить непрерывность обратных тригонометрических функций, исходя из непрерывности самих тригонометрических функций в области своего определения.

Как известно, называется элементарной функцией, если она состоит из конечного числа простейших элементарных функций, к которым конечное число раз применяются арифметические операции и суперпозиции. Т.о. любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Пусть , . Тогда называется точкой разрыва данной функции в двух случаях:

1), но - предельная точка ;

2) , но в этом случае нарушается условие непрерывности

или не существует .

Примеры. 1). , - предельная точка области определения. Т.о. - точка разрыва функции, т.к. выполняется первое условие. (рис.)

2) - точка разрыва функции, т.к. выполняется второе условие. (рис).

Для классификации точек разрыва используют односторонние пределы.

Опр. Пусть - точка разрыва функции . Если существуют конечные односторонние пределы слева и справа и , то называется точкой разрыва I рода. Во всех остальных случаях точка называется точкой разрыва II рода.

Опр. Точка , являющаяся точкой разрыва I рода, называется точкой устранимого разрыва, если выполняются условие .

Пример. , 0- точка устранимого разрыва функции, т.к.

; .

б.м. огр.

Опр. Точка , являющаяся точкой разрыва I рода, называется разрывом со скачком, если выполняются условие . - скачок функции.

Пример. , 0 - точка разрыва со скачком, т.к. -1, =0.

Опр. Точка , являющаяся точкой разрыва II рода, называется точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.

Пример. - гипербола, 0 - точка бесконечного разрыва функции, т.к., =.