Лекция 3. Определение предела функции. Основные свойства конечного предела функции. Критерий Коши. Основная теорема о пределах. Замечательные пределы.

Пусть даны два множества и .

Опр. Если каждому элементу из первого множества по некоторому закону или правилу соответствует определенный элемент , то это соответствие называется однозначной функцией или отображением множества в множество .

Множество называется областью определения или существования той функции. Сам закон или само правило соответствия также обозначается, например, буквой . Тогда данная функция обозначается так: А называется независимой переменной или аргументом функции, а - зависимой переменной или функцией.

Пример. Пусть ; , а .

Часто закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания называется аналитическим. Функция также может определяться разными формулами на разных участках области своего задания.

Пример. Функция

задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой.

Довольно распространенным способом задания функции является табличный способ, заключающийся в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функций. При этом можно приближенно вычислять не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Примером табличного способа задания функции является расписание движения поезда. В практике физических измерений используется еще один способ задания функций - графический, при котором соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе).

Убедимся, что арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение в точке , приводят к функциям, также имеющим предельное значение в этой точке.

Теорема 1. Пусть заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и . Тогда функции , , и имеют в точке предельные значения (частное при условии ), равные соответственно ,, и .

Док-во. Пусть () - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента функций и . Соответствующие последовательности и значений этих функций имеют пределы и . Но тогда в силу основных свойств сходящихся последовательностей, последовательности , , и имеют пределы соответственно равные ,, и . В силу произвольности последовательности это означает, что , , , . Ч.т.д.

Теорема (Критерий Коши). Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Теорема (первый замечательный предел). Выполняется равенство: .

Док-во. Заметим, что функция четная, т.к. . В силу четности пределы в нуле слева и справа совпадают. Поэтому достаточно найти предел справа, т.е. , т.е. . Рассмотрим теперь круг единичного радиуса. Сравним между собой площади трех плоских фигур: