Лекция 2. Свойства сходящихся последовательностей. Переход к пределу в неравенствах и арифметических операциях.

Ограниченные последовательности. Монотонные последовательности. Критерий Коши.

Опр. Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

. Если последовательность сходящаяся, то она имеет единственный предел.

Док-во. Доказательство проведем от противного. Допустим, что существует сходящаяся последовательность , которая имеет хотя бы два различных предела . Тогда для , по определению предела, получим:

1) /

2) /

Возьмем номер , . Тогда для этого номера одновременно выполняются два неравенства:

.

Т.е. пришли к противоречию, и сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

. Если последовательность сходящаяся, то она ограничена, т.е.

/

или

и / .

Сформулируем основную теорему о пределах.

Теорема. Если существуют конечные пределы и , то существуют приводимые, ниже пределы и выполняются равенства:

1); 2) ;

3) .

Теорема 1. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Док-во. Проведем от противного. Предположим, что . Так как - предел последовательности , то для положительного можно указать номер , такой, что при выполняется неравенство . Это неравенство эквивалентно двум неравенствам: . Из правого неравенства следует, что . Т.е., мы пришли к противоречию. Случай рассматривается аналогично.

Следствие 1. Если элементы и сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

.

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте , то и ее предел также находится на этом сегменте.

Теорема 2 (о трех последовательностях). Пусть и - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам

. (1)

Тогда последовательность сходится и имеет предел .

Док-во. Нам достаточно доказать, что последовательность является бесконечно малой. Обозначим через номер, начиная с которого выполняются неравенства (1). Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства . Отсюда следует, что при элементы последовательности удовлетворяют неравенству

.

Так как и , то для и / , а при . Пусть . Начиная с этого номера, имеет место неравенство последовательность является бесконечно малой. Ч.т.д.

Опр. Последовательность , ,…, ,… называется возрастающей , если выполняются неравенства

.

Возрастающая последовательность называется также неубывающей. Если между всеми элементами будут строгие неравенства, то последовательность называется строго возрастающей.

Аналогично дается определение для убывающей последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности вместе называются монотонными.

Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу. Невозрастающие – сверху, неубывающие – снизу своим первым элементом.

Примеры:

1) Последовательность 1, 1, …, … - невозрастающая. Сверху она ограничена 1, а снизу 0.

2) Последовательность 1, 1, ,…, … - неубывающая. Снизу она ограничена 1, а сверху не ограничена.

3) Последовательность …, ,… - возрастающая. Она ограничена с обеих сторон: снизу она ограничена а сверху, например, числом 1.

Для установления монотонности данной последовательности , либо разность сравнивают с нулем, либо отношение сравнивают с единицей.

Теорема 1. Если последовательность и ограничена сверху, то она сходится, причем . Аналогично, если и ограничена снизу, то сходится и .

Теорема 2 (критерий монотонности последовательности). Для сходимости монотонной последовательности н. и д., чтоб она была ограничена.

Теорема Эйлера. Существует конечный предел . .

Пусть дана числовая последовательность , ,…, ,… . Возникает вопрос: сходится ли она? Например, пусть …+ Тогда трудно угадать возможный предел этой последовательности (пределом служит число ). В таких случаях применяется критерий Коши. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Опр. Последовательность называется фундаментальной, если / (т.е. с ростом номеров элементы последовательности приближаются друг к другу).

Теорема (критерий Коши). Для сходимости числовой последовательности н. и д., чтобы она была фундаментальной.