Лекция 15. Локальные экстремумы. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума функции многих переменных.

Пусть функция определена в некоторой области .

Опр. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая - окрестность точки , что () для любой точки , .

На рис. 1 изображен локальный максимум, а на рис 2 - локальный минимум.

Точки локального максимума и точки локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Локальный максимум и локальный минимум называют локальным экстремумом функции .

Теорема (необходимые условия локального экстремума). В точке локального экстремума дифференцируемой функции все ее частные производные первого порядка равны нулю.

Доказательство. Для простоты будем рассматривать функцию двух переменных . Пусть функция дифференцируема и в точке имеет, например, локальный максимум.

Тогда найдется - окрестность точки такая, что для всех точек , . Для точек вида

будем иметь

. (1)

Фиксируя , получаем функцию одной переменной . Из неравенства (1) видно, что эта функция при имеет максимум, поэтому ее производная по в точке равна нулю, т.е. .

Аналогично доказывается, что . Ч.т.д.

Опр. Точки, в которых все частные производные первого порядка функции нескольких переменных существуют и равны нулю, называются стационарными точками.

Как и в случае функции одной переменной, функция многих переменных может иметь локальный экстремум либо в стационарных точках, либо в точках, где частные производные первого порядка не существуют, но функция сохраняет непрерывность.

Опр. Стационарные точки и точки, в которых частные производные первого порядка не существуют, но функция сохраняет непрерывность, называются критическими точками.

Для нахождения локальных экстремумов функции нескольких переменных надо исследовать все ее критические точки.

Но полученное условие экстремума функции не является достаточным, т.е. если в некоторой точке все частные производные первого порядка равны нулю, то в этой точке функция может и не иметь экстремум.

Опр. Пусть даны переменные , принимающие любые действительные значения. Тогда выражение

(1)

где - некоторые действительные числа, называется квадратичной формой.

Опр. Матрица

, составленная из коэффициентов квадратичной формы (1), называется матрицей квадратичной формы.

Так как

,

где , то коэффициенты и квадратичной формы можно считать равными, т.е.

= . (2)

В силу (2) матрица квадратичной формы будет симметрической.

Опр. Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид

Оказывается, что для любой квадратичной формы (1) существует линейное преобразование, которое приводит ее к каноническому виду.

Опр. Квадратичная форма (1) называется положительно или (отрицательно) определенной, если линейным преобразованием она приводится к следующему каноническому виду:

или

, .

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы называют знакоопределенными квадратичными формами.

Опр. Угловым минором - го порядка матрицы квадратичной формы (1) называется минор, составленный из элементов матрицы , стоящих на пересечении ее первых строк и столбцов.

Угловые миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков имеют вид:

.

формы называют знакоопределенными квадратичными формами.

Теорема. Квадратичная форма называется положительно определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных .

Критерий Сильвестра формулируется в виде следующих двух теорем.

Теорема. Квадратичная форма называется положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны.

Теорема. Квадратичная форма называется отрицательно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры четного порядка ее матрицы положительны, а нечетного – отрицательны.

Теорема (достаточные условия локального экстремума). Пусть функция один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки и два раза дифференцируема в самой точке . Пусть, кроме того, точка является точкой возможного экстремума функции , т.е. . Тогда, если второй дифференциал

, (3)

где

(4)

представляет собой положительно определенную (отрицательно определенную) квадратичную форму от переменных , то функция имеет в т очке локальный минимум (локальный максимум). Если же второй дифференциал (3), (4) представляет собой знакопеременную квадратичную форму, то функция не имеет локального экстремума в точке .

Эту теорему можно сформулировать в более удобном для нахождения локальных экстремумов способом.

Теорема (достаточные условия локального экстремума). Пусть функция в точке имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка, причем первые частные производные в точке равны нулю, т.е. ,

, а частные производные второго порядка принимают значения , , . Тогда:

1) если и , то - точка локального максимума;

2) если и , то - точка локального минимума;

3) если , то в точке экстремума нет;

4) если , то в точке функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Пример. Исследовать на локальный экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные первого порядка , . Стационарные точки найдем, решая систему

Стационарной точкой является точка . Найдем вторые частные производные и их значения в этой точке: , , . Следовательно, , , .

Таким образом, и . Следовательно, в стационарной точке функция имеет локальный максимум .

Достаточные условия 1) и 2) локального экстремума функции нескольких переменных являются условиями знакоопределенности квадратичной формы относительно и .