Лекция 14. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций многих переменных.

Пусть существуют конечные частные производные и во всех точках из некоторой сферической окрестности Тогда можно говорить о частных производных этих новых функций в точке . Они являются частными производными второго порядка от исходной функции в точке . Обозначаются они следующим образом:

, ,

, .

Аналогично, исходя из частных производных второго порядка, определяются частные производные третьего порядка и т.д. Например, означает частную производную четвертого порядка. Если в данной частной производной встречаются разные аргументы, то такая частная производная называется смешанной частной производной.

Предварительно введем понятие раз дифференцируемой функции нескольких переменных.

Определение. Функция называется раз дифференцируемой в точке , если все частные производные -го порядка этой функции являются дифференцируемыми функциями в точке .

Утверждение. Для того, чтобы функция была раз дифференцируемой в точке , достаточно, чтобы все ее частные производные -го порядка были непрерывными в точке .

Можно доказать, что две смешанные производные от функции в данной точке совпадают между собой, если эти частные производные непрерывны в этой точке и каждый аргумент, который встречается в этих производных присутствует одинаковое число раз в каждой из этих двух производных. В случае непрерывности этих производных выполняется равенство:

.

Теорема. Пусть функция дважды дифференцируема в точке . Тогда в этой точке частные производные равны.

Доказательство. Так как функция дважды дифференцируема в точке , то частные производные и определены в некоторой окрестности точки и представляют собой дифференцируемые функции в этой точке. Рассмотрим выражение

, (1)

где - любое, столь мало число, что точка находится в указанной окрестности точки . Выражение Ф можно рассматривать как приращение дифференцируемой на сегменте функции одной переменной . Поэтому по формуле Лагранжа, обозначая через некоторое число из интервала , можем записать

(2)

Так как частная производная является дифференцируемой в точке функцией, то

,

,

где - бесконечно малые при функции. Подставляя найденные выражения для и в формулу (2), получим

, (3)

где - бесконечно малая при функция. С другой стороны, выражение Ф, определяемое соотношением (1), можно рассматривать как приращение дифференцируемой на сегменте функции . Применяя формулу Лагранжа и учитывая дифференцируемость частной производной в точке , мы получим совершенно аналогичное предыдущему следующее выражение для Ф:

, (4)

где - бесконечно малая при функции. Приравнивая правые части соотношений (3) и (4) и сокращая обе части полученного равенства на , найдем, что . Так как - бесконечно малые при функции, то из последнего равенства следует, что . Ч.т.д.

Пример. Найти частные производные функции .

Рассмотрим случай функции двух переменных . Пусть эта функция дифференцируема во всех точках из некоторой сферической окрестности Тогда в каждой точке для полного дифференциала выполняется равенство:

.

Тогда ясно, что становится функцией от четырех переменных . Фиксируем две из этих переменных и . Тогда , как функция от двух переменных , может быть дифференцируемой в т. . Полный дифференциал этой новой функции от аргументов и называется дифференциалом второго порядка от исходной функции в точке , если новые приращения аргументов и совпадают с дифференциалами и (которые временно были фиксированы).

Ясно, что в случае существования дифференциала 2-го порядка выполняется следующее равенство:

.

Отсюда в случае непрерывных смешанных производных получим равенство

. (5)

Аналогично, получаются формулы дифференциалов любого порядка в случае непрерывных смешанных производных и в случае любого числа аргументов.

Пример. Найти полный дифференциал второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка

Затем - вторые производные:

;

. Найденные частные производные подставим в формулу (5) и найдем полный дифференциал второго порядка:

.

Как известно, если функция раз дифференцируема в точке , то имеет место следующая формула Тейлора:

=,

при .

Можно доказать, что если производная непрерывная в некоторой окрестности точки , то для остатка выполняется равенство

.

Если обозначить , то формулу Тейлора можно записать в следующем виде

=

=, .

Рассмотрим теперь функцию многих переменных , которая имеет непрерывные частные производные -го порядка, в которых сферические окрестности точки . Тогда в любой точке из этой сферической окрестности имеет место следующая формула Тейлора

=, ,

.

Эта формула Тейлора получается из формулы для функций одного аргумента, если рассмотреть следующую сложную функцию от одного аргумента