Лекция 13. Частные производные функции. Дифференцируемость и полный дифференциал. Геометрические приложения. Частные производные от сложных функций.

Для краткости рассмотрим функцию двух переменных.

Пусть функция определена в некоторой сферической окрестности точки . Разности , называются приращениями аргументов. Ясно, что , . В случае точек из данной окрестности, следующие разности называются частными приращениями функции:

Частными производными от функции в точке называются следующие пределы:

Для частных производных приняты следующие обозначения:

Частные производные могут существовать, могут быть бесконечными, но могут и не существовать. Заметим, что при определении частной производной фиксируются все аргументы кроме одного, по которому берутся приращения и берут предел. Поэтому на частные производные распространяются все правила дифференцирования функций одной переменной. Для непосредственного вычисления частной производной по данному аргументу остальные аргументы фиксируются и находят производную по данному аргументу с применением таблицы производных.

Примеры: Найти частные производные: 1) , 2) ,

3) .

Заметим, что если функция не будет определена в сферической окрестности данной точки, то частные приращения функции могут не иметь cмысла.

Это связано с тем, что в граничных точках области задания функции не всегда можно вычислить частные приращения этой функции, например в точке .

Приведем пример функции, которая не имеет частных производных в данной точке:

в точке .

не существует.

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется выражение

Определение. Функция называется дифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

…+…+, (1)

где …, - некоторые независящие от числа, а …, - бесконечно малые при функции, равные нулю при .

Соотношение (1) называется условием дифференцируемости функции в данной точке. Условие (1) можно записать и в следующей форме

…+. (2)

Если хотя бы одно из чисел …, отлично от нуля, то сумма …+ представляет собой главную, линейную относительно приращений аргументов часть приращения дифференцируемой функции. Справедлива следующая теорема

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где определяются из условий (1) или (2) дифференцируемости функций.

Доказательство. Из условия (1) дифференцируемости функции в точке вытекает, что ее частное приращение в этой точке равно . Отсюда вытекает, что .

Следствие 1. Условие (2) дифференцируемости функции в данной точке можно записать в следующей форме

…+. (3)

Следствие 2. Если функция дифференцируема в точке , то представление ее приращения в форме (1) и (2) единственно.

Доказательство. В самом деле, коэффициенты этих представлений равны частным производным в данной точке и поэтому определяются единственным образом.

Свойство дифференцируемых функций. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. В самом деле, из условия (1) дифференцируемости функций в точке вытекает, что , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Геометрически дифференцируемость функции в точке означает наличие касательной плоскости к графику функции в точке .

Выясним достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

Теорема 2. Если функция имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , причем все эти частные производные непрерывны в самой точке , то указанная функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Для простоты проведем доказательство для функции двух переменных . Пусть обе частные производные и существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Дадим аргументам и столь малые приращения и , чтобы точка не выходила за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде

Выражение можно рассматривать как приращение функции одной переменной на сегменте . Поскольку функция имеет частные производные, указанная функция дифференцируема и ее производная по представляет собой частную производную . Применяя к указанному приращению формулу Лагранжа, найдем такое на интервале

, что

Рассуждая совершенно аналогично, получим, что для некоторого из интервала ,

Так как производные и непрерывны в точке , то

где и - бесконечно малые при и функции. Отсюда, учитывая приведенные выражения для

и выражение для , найдем

Следовательно, функция дифференцируема в точке . Ч.т.д.

Определение. Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке . Если все коэффициенты в представлении (1) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал функции в точке считается равным нулю.

Таким образом, дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется выражение

…+. (4)

Используя теорему 1, мы можем, очевидно, переписать выражение (4) для дифференциала следующим образом:

…+. (5)

Введем понятие дифференциала независимой переменной . Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое (не зависящее от ) число. В дальнейшем будем брать это число равным приращению независимой переменной . Тогда мы можем переписать формулу (5) в виде

…+. (6)

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Найдем сначала частные производные функции по трем переменным и :

и подставим их в формулу (6):

- полный дифференциал.

Рассмотрим сложную функцию , где

(6)

Теорема 1. Пусть функции (6) дифференцируемы в некоторой точке , функция дифференцируема в соответствующей точке , где , . Тогда сложная функция , где определяются соотношениями (6), дифференцируема в точке . При этом частные производные этой сложной функции в точке определяются формулами

(7)

в которых все частные производные берутся в точке , а все частные производные функций (6) по аргументам берутся в точке .

Доказательство. Придадим аргументам в точке произвольные приращения , не равные одновременно нулю. Этим приращениям соответствуют приращения функций (6) в точке . Приращениям в свою очередь соответствует приращение функции в точке . Поскольку функция предполагается дифференцируемой в точке , указанное приращение этой функции может быть записано в виде

, (8)

где частные производные берутся в точке , а - бесконечно малые при функции, равные нулю при . Подчеркнем, что в соотношении (8) представляют собой приращения функций (6), отвечающие выбранным приращениям аргументов этих функций. В силу дифференцируемости функций (6) в точке указанные приращения можно записать в следующей форме:

, , (9)

где частные производные берутся в точке , а .

Мы должны убедиться в том, что после подстановки в правую часть (8) выражений (9) приращение может быть приведено к виду

, (10)

где

. (11)

Доказательство теоремы мы завершили, т.к. формула (10) устанавливает факт дифференцируемости сложной функции, а выражение (11) представляет собой частную производную указанной сложной функции.

Примеры. 1) Найти частные производные функции по аргументам и .

Решение. Данная функция является сложной: , где , , . Обозначим частную производную функции по аргументу через . Функции зависят от тех же аргументов, что и функция . Применяя формулу (7), получим