Лекция 12. Непрерывность функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных в точке функций. Глобальные свойства непрерывных функций многих переменных.

Пусть точка принадлежит области определения функции и любая - окрестность точки содержит отличные от точки области определения этой функции.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению .

Так как , то условие непрерывности функции можно записать так:

.

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называет точками разрыва этой функции.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех точек из области определения функции, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Перечислим основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

1. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и , где непрерывны в точке .

2. Непрерывность сложной функции.

Пусть функции

(1)

Заданы на множестве евклидового пространства ( - координаты точек в этом пространстве). Тогда каждой точке из множества ставится в соответствие с помощью формул (1) точка евклидового пространства. Обозначим через множество всех таких точек. Пусть - функция - переменных, заданная на указанном множестве . В этом случае мы будем говорить, что на множестве евклидового пространства определена сложная функция , где являются функциями переменных , причем эти функции определяются соотношениями (1).

Утверждение. Пусть функции (1) непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где , . Тогда сложная функция , где представляют собой определенные выше функции аргументов , непрерывна в точке .

3. Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке евклидового пространства и если , то существует такая - окрестность точки , в пределах которой во всех точках области своего определения не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком .

Доказательство. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «».

4. Теорема (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция непрерывна во всех точках связного множества евклидового пространства , причем и - значения этой функции в точках и этого множества. Пусть далее, - любое число, заключенное между и . Тогда на любой непрерывной кривой , соединяющей точки и и целиком располагающейся в , найдется точка такая, что

Доказательство. Пусть

,

- уравнения непрерывной кривой , соединяющей точки и множества и целиком располагающейся в . На сегменте определена сложная функция , где . Очевидно, значения этой функции на сегменте совпадают со значениями функции на кривой . Указанная сложная функция одной переменной , в силу приведенного выше утверждения, непрерывна на сегменте и, согласно теореме о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, в некоторой точке сегмента , принимает значение . Поэтому в точке кривой с координатами справедливо равенство Ч.т.д.

5. Ограниченность функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.

Теорема. (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Докажем ограниченность сверху. Предположим, что не ограничена сверху на . Выделим последовательность точек множества , для которых , В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой, в силу замечания к теореме Больцано-Вейерштрасса принадлежит множеству . Очевидно, последовательность бесконечно большая. С другой стороны, в силу непрерывности функции в точке , эта последовательность должна сходится к . Полученное противоречие и доказывает теорему.

6. Достижение функцией, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, своих точных граней.

Теорема. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

7. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных.

Определение. Функция называется равномерно непрерывной на множестве евклидова пространства, если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , зависящее только от , что для любых двух точек и множества , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Теорема (о равномерной непрерывности). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.

Пример. Установить непрерывность функции в точке , пользуясь определением предела.

Решение. ,

.

Т.к. предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , то заданная функция непрерывна в точке .