Лекция 1. Натуральные, целые, рациональные числа. Действительные числа как множество бесконечных десятичных дробей.

Действия над действительными числами. Последовательности действительных чисел. Предел числовой последовательности.

Опр. Множеством называется совокупность некоторых объектов, имеющих общий признак.

Сами объекты при этом будут называться элементами этого множества.

Пример. Множество студентов 2 группы 1 курса физического факультета. Студенты той группы будут элементами этого множества. Множество обозначается большими латинскими буквами, а элементы – малыми.

Опр. Множество называется подмножеством множества и пишут , если каждый элемент множества принадлежит множеству .

Запись означает, что является элементом множества . - символ принадлежности; - символ равносильности, эквивалентности; - символ следования. Символ (Any) означает любой, всякий, каждый; - существует, найдется и т.д.

Например: .

Опр. Натуральными числами называются числа, используемые при счете. Множество натуральных чисел обозначается - .

Опр. Целые числа – это натуральные числа, им противоположные числа и нуль. Обозначение - .

Опр. Рациональные числа – числа, представимые в виде отношения целого числа к натуральному: .

Опр. Рациональным числом также называется бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, дробь .

Хотя рациональных чисел бесконечно много, но не хватает для измерения длин, площадей и объемов. Если попытаться измерить диагональ квадрата, то мы выясним, что стороны квадрата и диагональ несоизмеримые отрезки и, следовательно, нам надо расширить класс рациональных чисел. Кроме бесконечных периодических дробей существуют и непериодические десятичные дроби.

Опр. Иррациональными числами называются непериодические десятичные дроби.

Например: диагональ квадрата со стороной 1, по теореме Пифагора равняется , т.е - иррациональное число. Оказывается, если объединить периодические и непериодические дроби, то задача измерения величин будет решена.

Опр. Вещественным или действительным числом называется бесконечная десятичная дробь без периода, взятая со знаком «» или «-» . Множество вещественных чисел будем обозначать: (real).

Опр. Если каждому числу натурального ряда чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных вещественных чисел , ,…, ,… называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа - элементы или члены последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом .

Пример. Символом будем обозначать последовательность .

Опр. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число (число ), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству ().

Опр. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Опр. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Примеры. 1) Последовательность - не ограничена, т.к. она неограниченна сверху.

2) Последовательность - ограничена, т.к. она ограничена сверху , а снизу .

Опр. Число называется пределом числовой последовательности и пишут , если

/ .

(Для любого, наперед заданного положительного числа , найдется номер такой, что для всех номеров, больших , выполняется неравенство ).

Мы знаем, что . Значит, все элементы с номерами принадлежат интервалу , т.е. принадлежат - окрестности точки

● ● ● ● ● ●

Иногда для краткости пишут .

Пример. Исходя из определения предела доказать, что .

Распишем последовательность: ; ;;…;….. .

Пусть дано любое . Найдем номер / . Значит, искомый номер .

Опр. Если предел последовательности равен нулю, то такая последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.).

Предел последовательности может равняться и бесконечности. Различают три вида бесконечности: .

Опр. Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью (б.б.) и пишут , если / .

Опр. Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью положительного знака и пишут , если / .

Аналогично, числовая последовательность называется б. б. последовательностью отрицательного знака и пишут , если / .

Если выполняется одно из равенств , то выполняется и равенство (обратное неверно).

Рассмотрим свойства б.м. последовательностей:

Теорема 1. Сумма двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Следствие. Сумма любого фиксированного конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на б.м. последовательность является б.м. последовательностью.

Следствие. Произведение двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Следствие. Произведение любого числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

Теорема 3. Если последовательность является б.м. и все не равны нулю, то последовательность является б.б. последовательностью. Обратно, если б.б. последовательность и все , то - б.м. последовательность.

Теорема 4. Если существует конечный предел , то последовательность можно представить в виде суммы числа и б.м. , т.е. , .