Лекции 9, 10. Исследование поведения функции с помощью производных и построение ее графика.

Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки .

Опр. Говорят, что функция возрастает (убывает) в точке , если найдется такая окрестность точки , в пределах которой при и при ( при и при ).

Установим достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке и (), то эта функция возрастает (убывает) в точке .

Опр. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в пределах которой значение является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.

На рис. имеет в точке локальный максимум. Локальный минимум и максимум называются локальными экстремумами.

Установим необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Док-во. Т.к. функция имеет в точке локальный экстремум, то не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Стало быть, в силу достаточного условия экстремума функции, производная не может быть не положительной, ни отрицательной, т.е. . Ч.т.д.

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке и имеет внутри него конечную производную . Для того чтобы была в постоянной н. и д., чтобы внутри .

Следствие. Если две функции и определены и непрерывны в промежутке и внутри него имеют конечные производные и , причем = внутри , то эти функции на всем промежутке разнятся на постоянную: = (=const).

Выясним теперь, как по производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции в данном промежутке. Остановимся сначала на случае функции, монотонно возрастающей в широком смысле, т.е. не убывающей (или монотонно убывающей в широком смысле, т.е. не возрастающей).

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке и имеет внутри него конечную производную . Для того чтобы была в монотонно возрастающей (убывающей) в широком смысле, н. и д. условие внутри .

Теорема 3. При сохранении тех же предположений относительной непрерывности функции и существования ее производной , для того чтобы была монотонно возрастающей (убывающей) в строгом смысле, н. и д. условия:

1) () для внутри ;

2) не обращается тождественно в нуль ни на каком промежутке, составляющим часть .

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда называется точкой максимума (точкой минимума) функции для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство (соответственно ).

Если в определении знаки неравенства строгие, то точка называется точкой строгого максимума или строгого минимума. Точки строгого максимума и строгого минимума называются точками (строгого) экстремума.

Теорема 4 (необходимые условия экстремума). Пусть является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки . Тогда либо производная не существует, либо .

Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными.

Итак, если точка есть стационарная точка для функции или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка представляется, так сказать, «подозрительной» на экстремум и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит в проверке достаточных условий для существования экстремума.

Предположим, что в некоторой окрестности точки существует конечная производная и как слева от , так и справа от ( в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1) при и при , т.е. производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус. В этом случае в промежутке функция возрастает, а промежутке убывает, так что значение будет наибольшим в промежутке , т.е. в точке функция имеет строгий максимум.

2) при и при , т.е. производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс. В этом случае функция имеет строгий минимум.

3) при , так и , либо же и слева и справа от , т.е. при переходе через точку не меняет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точке никакого экстремума нет.

После класса монотонных функций, возрастающих или убывающих, выделяется класс, так называемых, выпуклых или вогнутых функций.

Определение. Функция , определенная и непрерывная в промежутке называется выпуклой (выпуклой вниз) если для любых точек и из (<>) выполняется неравенство

. (1)

Каковы бы ни были положительные числа и , в сумме дающие единицу. Функция называется вогнутой (вогнутой вверх), если вместо (1) мы имеем

. (1а)

Очевидно, что если функция выпукла (вогнута), то функция -- оказывается вогнутой (выпуклой) и наоборот, так что ограничимся изучением лишь выпуклых функций.

При построении графиков функций представляют интерес точки перегиба кривой .

Определение. Точку непрерывной кривой называют ее точкой перегиба, если она определяет участок кривой, где функция выпукла от участка, где эта функция вогнута.

Если допустить существование конечной второй производной хотя бы только при , то необходимо . Это условие играет такую же роль в отношении точек перегиба, какую играло условие при разыскании экстремумов функции : оно необходимо, но не достаточно.

Если вторая производная существует везде внутри рассматриваемого промежутка, то абсциссы точек перегиба следует искать среди корней этой производной. Но каждый корень подлежит испытанию. Пусть в некоторых окрестностях и слева и справа от производная сохраняет определенный знак. Тогда для распознавания точки перегиба можно дать такое правило: если при переходе через значение производная меняет знак, то налицо перегиб, если же знака не меняет, то перегиба нет.

Определение 1. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Определение 2. Говорят, что прямая

(1)

является наклонной асимптотой графика функции при , если функция представима в виде

, (2)

где .

Теорема. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту (1), н. и д. , чтобы существовали два предельных значения

и .

Мы изложим схему, по которой удобно проводить исследование графика функций.

Для качественного исследования графика функции целесообразно прежде всего провести следующие исследования:

Определить область задания функции.

Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).

Найти области возрастания и убывания функций и точки экстремума.

Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба.

Найти точки пересечения графика функции с осью .

Пример. Построить график функции .

Определим область задания функции. Эта функция определена и непрерывна для всех , т.е.

Выясним вопрос о существовании асимптот:

а) вертикальная асимптота. Очевидно, что

поэтому график функции имеет вертикальную асимптоту .

б)

т.е. график имеет наклонную асимптоту .

Для нахождения областей возрастания и убывания вычислим первую производную функцию

Теперь найдем стационарные точки, решив уравнение Отсюда следует, что и . В точке производная не существует.

Найдем вторую производную В точке вторая производная не существует. Составим таблицу изменения знака первой и второй производной в зависимости от изменения аргумента, включив в нее критические точки:

				-1		-1+
	+	0	-	Не существует	-	0	+
	-	-	-	Не существует	+	+	+

Из таблицы видно, что функция имеет в точке строгий максимум, а в точке строгий минимум; при функция строго выпукла вверх, а при строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как при функция разрывна.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. С осью : , , , , .

С осью .

Построим график функции:

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную на сегменте . До сих пор мы интересовались лишь отысканием локальных максимумов и минимумов этой функции, а теперь поставим задачу об отыскании максимального и минимального значения функции на сегменте . В силу теоремы Вейерштрасса функция обязательно достигает в некоторой точке сегмента своего максимального (минимального) значения. Для определенности остановимся на отыскании максимального значения. Максимальное значение функции может достигаться либо во внутренней точке сегмента (тогда оно совпадает с одним из локальных максимумов функции, либо на одном из концов сегмента ). Отсюда ясно, что для нахождения максимального значения функции на сегменте нужно сравнить между собой значения во всех точках локального максимума и в граничных точках сегмента и . Наибольшее из этих значений и будет максимальным значением на сегменте . Аналогично находится и минимальное значение на сегменте .