ЛЕКЦИЯ 3. Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм. Волны де Бройля

В предыдущих разделах были изложены явления интерференции, дифракции и поляризации света, которые могли быть объяснены на основе волновых представлений о природе света. Такие явления, как тепловое излучение, внешний фотоэффект, эффект Комптона нашли своё объяснение на базе квантовых, корпускулярных представлений, согласно которым свет — это поток частиц — фотонов. По современным представлениям о природе света в нём проявляется диалектическое единство прерывного и непрерывного, корпускулярного и волнового. Корпускулярно-волновой дуализм световых явлений отражён в формуле (2.3), в которой одновременно присутствуют как волновые, (длина волны ), так и корпускулярные (импульс р) характеристики фотона.

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма в физических явлениях. Он предположил, что не только фотоны, но и любые другие микрочастицы (электроны, протоны и т.д.) имеют как волновые, так и корпускулярные свойства. Заменив в формуле (2.3) импульс фотона на импульс микрочастицы (p = mv), де Бройль получил:

.

(3.1)

Формула (3.1) называется формулой де Бройля, а  — дебройлевской длиной волны частицы.

Заметим, что, несмотря на то, что формула (30.1) носит универсальный характер, длина волны де Бройля для макроскопических тел оказывается настолько малой, что их волновые свойства не проявляются.

Гипотеза де Бройля получила надёжное подтверждение в экспериментах по дифракции микрочастиц. В 1927 г. было обнаружено, что поток электронов, отраженный от объёмной дифракционной решётки (кристалла никеля) даёт отчётливую дифракционную картину (опыт Дэвиссона и Джермера). Подобная дифракционная картина получается, если вместо электронного пучка использовать рентгеновское излучение, длина волны которого выбирается равной соответствующей длине волны де Бройля для электрона. В дальнейшем было показано, что волновые свойства присущи каждой отдельной микрочастице и не определяются коллективными свойствами большой группы частиц.

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Как было указано, микрочастицы одновременно обладают как волновыми, так и корпускулярными свойствами, поэтому их движение не может быть описано в рамках чисто корпускулярных или чисто волновых представлений. Однако, если мы попытаемся хотя бы приблизительно описать движение микрочастицы как корпускулы (т.е. по определённой траектории), то наличие у неё волновых свойств должно привести к появлению некоторых ограничений, Такие ограничения были установлены В. Гейзенбергом (1927 г.) и носят название соотношений неопределённости.

Рис. 3.1

Рассмотрим мысленный опыт по одновременному определению координаты и импульса микрочастицы (рис. 3.1). Пусть микрочастица движется в положительном направлении оси x и имеет импульс p. Для того чтобы определить координату частицы по оси у, поставим на её пути экран с узкой прямой щелью шириной a. Если частица пройдёт через щель, то её координата будет определена с точностью до ширины щели, т.е. y = a. Однако после прохождения щели микрочастица дифрагирует и отклоняется от своего первоначального направления движения вниз или вверх, т.е. получает неопределённый по величине импульс p_y. При пропускании через щель значительного числа частиц на экране возникнет дифракционная картина чередующихся максимумов и минимумов. Ограничимся рассмотрением центральной, наиболее интенсивной части дифракционной картины, заключённой между первыми дифракционными минимумами, которые соответствуют отклонению микрочастиц на угол  от первоначального направления. Из рис. 3.1 видно:

.

(3.2)

С другой стороны, направление на первый дифракционный минимум можно найти из условия :

.

(3.3)

Исключим из этих формул угол  и подставим значение  из формулы де Бройля (3.1). Имеем:

.

(3.4)

При выводе соотношения (3.4) был учтён только центральный дифракционный максимум. С учётом максимумов более высокого порядка можно записать:

.

(3.5)

Выражение (3.5) называется соотношением неопределённостей (для координаты и импульса). Смысл этого соотношения состоит в том, что невозможно одновременно сколь угодно точно определить координату и импульс микрочастицы. Если, например, попытаться абсолютно точно определить координату микрочастицы (y ® 0), то такая попытка приведёт к потере

всяких представлений о значении импульса микрочастицы, так как разброс его возможных значений p_y = h/y ® ¥.

Соотношения неопределённостей не связаны с несовершенством измерений и измерительных приборов и являются следствием неудачной попытки классического описания движения частицы.

32. Волновая функция и её статистический смысл

Для описания волновых свойств микрочастиц в квантовой механике вводится величина , которая называется волновой функцией. Физический смысл волновой функции заключается в том, что квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения микрочастицы в единичном объёме:

,

(3.6)

где ^* — комплексно сопряжённое значение функции .

Вероятность нахождения частицы в некотором объёме определяется соотношением:

.

(3.7)

Из смысла волновой функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический, вероятностный характер, позволяя предсказать, с какой вероятностью может быть обнаружена частица в различных точках пространства.

Волновая функция вместе со своими производными должна быть конечной, однозначной и непрерывной. Кроме того, волновая функция должна удовлетворять условию нормировки (3.8)

.

(3.8)

Условие (3.8) определяет вероятность того, что микрочастица находится в какой-либо точке пространства, т.е. вероятность достоверного события, которая равна единице.

Уравнение Шредингера

Для того чтобы найти волновую функцию , характеризующую состояние микрочастицы или системы микрочастиц, необходимо решить волновое уравнение, полученное Шредингером в 1926 г. Уравнение Шредингера — основа квантовой (волновой) механики, так же как и уравнения Ньютона — основные уравнения классической механики. Как и уравнения Ньютона, уравнение Шредингера не может быть выведено из других более элементарных принципов и вводится в квантовую механику как постулат. Справедливость уравнения Шредингера подтверждается тем, что все выводы, полученные из его решения, подтверждены экспериментально.

Для простейшего одномерного случая уравнение Шредингера имеет вид:

,

(3.9)

где W — полная, а W_p — потенциальная энергия частицы, . В общем (трёхмерном) случае уравнение Шредингера имеет вид:

.

(3.10)

Решение уравнения Шредингера для микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме

Применим уравнение Шредингера к частице, находящейся в одномерной, бесконечно глубокой потенциальной яме (рис. 34.1) шириной a. Внутри ямы (0 £ x £ a) потенциальная энергия частицы равна нулю, а за её пределами x < 0 и x > a бесконечно велика. Очевидно, что частица может перемещаться только внутри ямы и не может выйти за её пределы. Это означает, что вероятность найти частицу в областях пространства I и III равна нулю: , т.е. в этих областях всюду y=0, и, в частности:

Рис. 3.2

. (3.11)

Для области пространства II уравнение Шредингера имеет вид:

, (3.12)

где

. (3.13)

Решение уравнения (3.12) можно записать в виде

.

(3.14)

Используя граничные условия (3.11), получим:

.

(3.15)

Подставим (3.15) в (3.13):

.

(3.16)

Из (3.16) видно, что энергия микрочастицы в потенциальной яме может принимать только ряд дискретных значений W₁,W₂,…,W_n, которые называются уровнями энергии.

В реальных условиях высота потенциальной ямы конечна. Например, электрон внутри металла может двигаться свободно, однако его выходу в окружающее пространство препятствует потенциальный барьер, высота которого равна работе выхода электрона из металла. Решение уравнения Шредингера для этого случая приводит к следующим результатам:

1) энергия микрочастицы в такой яме будет также квантованной;

2) существует отличная от нуля вероятность того, что микрочастица с энергией, меньшей, чем высота потенциального барьера, ограничивающего яму, выйдет за её пределы. По классическим представлениям такой процесс невозможен, поскольку он приводит к отрицательному значению кинетической энергии микрочастицы

Рис.3.3