ЛЕКЦИИ 6-7. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

План лекции:

1) Окружность и эллипс.

2) Гипербола.

3) Парабола.

4) Сфера и эллипсоид.

5) Гиперболоид.

6) Параболоид.

Определение. Кривыми второго порядка на плоскости называют линии, которые в прямоугольной системе координат описываются уравнениями второй степени относительно переменных и .

К ним относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1)Рассмотрим окружность с центром в точке и радиусом .

Пусть - произвольная точка этой окружности. Тогда расстояние между точками и равно :

или

. (1)

Определение. Уравнение (1) называется уравнением окружности, т.к. координаты любой точки окружности удовлетворяют уравнению (1), а остальные точки плоскости не удовлетворяют этому уравнению.

Если , то из (1) получим:

-

уравнение окружности с центром в начале координат.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная.

Эту постоянную величину обозначим через , расстояние между фокусами и - через .

Через точки и проведем ось , а через середину отрезка - ось . Тогда точки и будут иметь соответственно координаты и .

Если - произвольная точка эллипса, то по определению

.

Подставим в это равенство значения и , получим:

. (2)

Уравнение (2) есть искомое уравнение эллипса. Это уравнение можно упростить.

Определение. Канонический вид уравнения эллипса имеет вид

, (3)

где .

График эллипса симметричен относительно координатных осей и будет проходить через точки , , и , которые называются вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно большой и малой осями, половины этих отрезков и называются соответственно большой и малой полуосями.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси и находится по формуле

. (4)

2) Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная.

Постоянную величину, о которой говорится в определении, обозначим через , а расстояние между фокусами и - через .

Через и проведем ось , а через середину отрезка - ось . Тогда точки и будут иметь соответственно координаты и .

Если - произвольная точка гиперболы, то по определению

, т.е. .

Выразив в этом равенстве расстояния и через координаты точек, получим:

(5)

Уравнение (5) есть искомое уравнение гиперболы. Как и в случае эллипса, произведя соответствующие преобразования, уравнение (5) приведем к каноническому виду.

Определение. Канонический вид уравнения гиперболы имеет вид

, (6)

где .

График гиперболы симметричен относительно координатных осей. Ось пересекается гиперболой в двух точках и , которые называются вершинами гиперболы, а ось гиперболой не пересекается. Поэтому называется действительной, а - мнимой осями симметрии гиперболы. Отрезок и его длина называется действительной осью гиперболы. На мнимой оси построим точки и . Отрезок

, и его длина называется мнимой осью гиперболы. Величины и называются полуосями гиперболы.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси и находится по формуле

. (7)

3) Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Пусть - расстояние между фокусом и директрисой . Проведем через прямую, перпендикулярную и направленную от директрисы к фокусу. Эту прямую примем за ось . Расстояние от точки до директрисы равно . Положительная величина называется параметром параболы. Через середину отрезка проведем ось .

Тогда фокус будет иметь координаты , а директриса -

уравнение .

Пусть - произвольная точка параболы и - основание перпендикуляра, опущенного из точки на директрису. По определению параболы имеем:

(8)

Выразив расстояние и через координаты точек, из (8) получим уравнение параболы

.

Возведя это уравнение в квадрат, мы упростим его.

Определение. Канонический вид уравнения параболы имеет вид

. (9)

График гиперболы симметричен относительно оси и проходит через точку , которая называется его вершиной. Ветви параболы расположены в положительном направлении оси .

Аналогично можно получить уравнение параболы, расположенной симметрично относительно оси

.

4)Пусть в пространстве задана прямоугольная декартовая система координат . Множество точек пространства, координаты , и которой удовлетворяют равенству

называются поверхностью, а равенство называется уравнением этой поверхности.

Составим уравнение сферы радиуса и с центром в точке .

Определение. Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от данной точки (центра).

Возьмем произвольную точку пространства . Тогда расстояние между точками и есть радиус этой сферы, т.е. :

или

. (10)

Уравнение (10) есть уравнение сферы.

В частности, если , то из (10) получим

(11)

- уравнение сферы с центром в начале координат. Уравнение (11) называется каноническим уравнением сферы.

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

,

где .

Чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, возьмем на плоскости эллипс и будем вращать его вокруг оси :

Полученная поверхность - эллипсоид вращения.

5) Вращая гиперболу вокруг оси , получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Рис.а.

Рис.а Рис. б

Его уравнение имеет вид

,

полученное тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения.

Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси с коэффициентом , получим однополостный гиперболоид общего вида

.

Путем вращения вокруг оси сопряженного гиперболоида , получим двуполостный гиперболоид вращения (рис.б)

.

Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси с коэффициентом , получим двуполостный гиперболоид общего вида

.

6) Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат имеет вид

,

где и . Вид этой поверхности можно определить применяя метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проведем плоскости, пересекающую исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации, возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности. Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей и , и расположена в полупространстве . Точка называется вершиной гиперболического параболоида.

y

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат имеет вид

,

где и . Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей и , и расположена в полупространстве . Точка называется вершиной эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид имеет вид

y