ЛЕКЦИЯ 5.   МЕТОД  КООРДИНАТ  НА ПЛОСКОСТИ  И  В ПРОСТРАНСТВЕ.  УРАВНЕНИЯ  ПРЯМОЙ.

 

 

План лекции:

1) Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.

2) Общее   уравнение прямой на плоскости.

3) Уравнение  прямой с  угловым коэффициентом. 

4) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. 

5) Уравнение прямой в отрезках.  

6) Уравнение плоскости. 

7)  Уравнение прямой в пространстве.

8)  Угол  между прямыми в пространстве.

 

1) Две взаимно перпендикулярные оси   и  , имеющие общее начало   и одинаковую масштабную единицу,  образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось   называется  осью абсцисс,   ось   - осью ординат, а обе оси вместе называются осями координат.  Плоскость, в которой  расположены оси   и    называются координатной плоскостью и обозначаются    .

                                       

 

 

 


                                                                      

 

                                                               

 

 

                                                                                           

                                    1                                                            

                                      1                                           

                                     

 

 

 

 

 

                                          Рис.1

Пусть     -  произвольная  точка на  плоскости.  Опустим из  нее  перпендикуляры   и    на  оси   и  .

Определение. Прямоугольными координатами    и   точки    называются соответственно величины    и    направленных отрезков   и       и  .  Координаты     и   точки  называются соответственно ее абсциссой и ординатой.

Тот факт, что  точка  имеет координаты     и    обозначается так:  .     Начало  координат имеет координаты  . Рис.1.

Утверждение.  При выбранной системе координат каждой точке   плоскости   соответствует единственная пара чисел   -  ее прямоугольные координаты, и обратно,  каждой паре чисел    соответствует, и притом только одна,  точка   плоскости     такая, что  ее  абсцисса равна , а ордината -  .

Прямоугольная система координат     в  пространстве  определяется заданием  масштабной единицы измерения длины и трех пересекающихся в одной  точке     взаимно  перпендикулярных осей:  ,    и  ,  где  -  начало координат,   -  ось абсцисс,    - ось ординат, - ось апликат . 

Через  точку  проведем три плоскости,  перпендикулярные  координатным осям  ,    и  .  Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно   ,   и  .

Определение. Прямоугольными координатами   точки    называются числа

                       ,     ,      . 

                                                

 

 


                                                

 

                                                                                   

 

 

 

                                                                                             

                                                                                       

 

                         

 

 

 

 

Таким образом, при выбранной системе координат  устанавливается взаимно-однозначное соответствие между  множеством всех точек  пространства и  множеством  упорядоченных троек  чисел    ее прямоугольные  координаты, и обратно,  каждой упорядоченной тройке  чисел   соответствует, и притом одна,  точка   в пространстве. 

2)Пусть на плоскости задана прямоугольная система  координат и линия  .

Определение.  Уравнение    называется уравнением  линии   (в заданной системе координат),  если  этому уравнению удовлетворяют координаты    и   любой точки, лежащей на линии  , и не  удовлетворяют координаты никакой точки,  не лежащей на этой линии.

Теорема.   В прямоугольной  системе координат любая прямая задается уравнением  первой степени

                                            ,       (1)

и обратно, уравнение (1) при произвольных коэффициентах     (где   и    не обращаются в нуль одновременно),  определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат  .

Определение.  Уравнение   вида    называется общим уравнением прямой. 

Примеры:  1)    - уравнение биссектрисы  I  и  III  координатных углов.

2)  -  уравнение параболы.

Пусть дана некоторая прямая.

3)Определение.  Углом наклона данной прямой к оси   называется угол ,  на который нужно  повернуть ось ,  чтобы ее положительное направление совпало  с одним из направлений прямой.

Определение.  Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к оси    и обозначается буквой    

                                                .                   (2)

Обычно в качестве угла наклона берут наименьшее неотрицательное значение  ,  на которое нужно повернуть (против часовой стрелки)  ось , чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой. 

Возьмем произвольную точку плоскости  .  Если провести прямые   и    параллельные  осям,  то в случае   получим прямоугольный .                            

                                                              

 

 


                                                                

                                           

                                                           

                                                

                 

                                                                                            

 

 Точка     лежит на прямой тогда и только тогда,  когда   и   удовлетворяют условию

                                             .

Но   ,  а  .

 Учитывая формулу (2),  получим, что  точка    лежит на прямой тогда и только тогда,  когда   ее  координаты  удовлетворяют уравнению

                                             .

Преобразуем это выражение к виду 

                                            .                    (3)

Определение.  Уравнение (3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Иногда возникает необходимость  составить уравнение прямой, зная ее одну точку    и угловой коэффициент .  Запишем уравнение в виде (3), где   - пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку  , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (3):

                                                    .

Определяя    из этого равенства и подставляя его в (3), получим

                                               .       

Определение.  Уравнение  прямой, проходящей через заданную точку  с  заданным угловым коэффициентом  , имеет вид

                                               .            (4)

4)Пусть даны две точки   и  .  Запишем уравнение прямой     в  виде  (4),   где   - пока неизвестный  коэффициент.   Так как прямая  проходит через точку  ,  то координаты  этой точки удовлетворяют уравнению (4):

                                     .

Определяя   из этого равенства (при условии, что  ),  и подставляя в  (4),  получим  искомое  уравнение  прямой:

                                          .

Это  уравнение,  если  ,  можно записать в виде

                                     .

Определение.  Уравнение  прямой, проходящей через   две заданные точки   и  ,  имеет вид

                                     .                        (5)

Пример:  Составить  уравнение  прямой, проходящей через точки   и  .

Подставляя  координаты точек    и   в уравнение  (5), получим искомое уравнение  прямой

                                        .

Отсюда   -  искомое уравнение  прямой.

  

5)Если , то уравнение (1)  имеет вид   и определяет прямую, проходящую через начало координат.

Если    ,  а  ,  то   уравнение приводится к виду    и определяет прямую,  параллельную оси  . Это уравнение приводится  к  виду  , где   .     - величина отрезка, который отсекает прямая  на оси  . В частности, если  , то прямая совпадает с осью .

Если    ,  а  ,  то   уравнение приводится к виду    и определяет прямую,  параллельную оси  . Это уравнение приводится  к  виду  , где   .     - величина отрезка, который отсекает прямая  на оси  . В частности, если  , то прямая совпадает с осью .

Пусть дано уравнение   при условии, что ни один из коэффициентов   не равен нулю. Преобразуем его к виду

                                         .

Вводя обозначения    и  , получаем

 

                                                    .                                  (6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках».  Числа   и    являются величинами  отрезков,  которые   прямая отсекает на осях.

 Пример:  Прямая  задана уравнением  . Составить для этой прямой  уравнение  «в отрезках»  и построить  прямую.

Перенесем свободный член вправо  .  Разделим все уравнение на -21:   .     Получим .  Значит    ,  а  .

 

6)Пусть даны:  прямоугольная система координат  ,  произвольная плоскость  , точка  , лежащая на этой плоскости и вектор , перпендикулярный этой плоскости  .

                                               

 

 

 


                                                 

                                                                            

 


                                     

 


                                                                                             

                                                                                       

 

                                                 

 

 

            

Рассмотрим произвольную точку . Точка  лежит на плоскости  тогда и  только тогда, когда   векторы   и   взаимно перпендикулярны. Так как  координаты  вектора    равны    ,  то в силу условия  перпендикулярности двух векторов получаем,  что точка   лежит на плоскости   тогда и  только тогда, когда  

                    .

Это и есть искомое  уравнение плоскости  ,  так как  ему удовлетворяют координаты   любой точки  ,  лежащей на плоскости  ,   и не удовлетворяют  координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.

Раскроем  скобки

                            .

Обозначая  число     через  , получим

                           .

Определение.  Общее уравнение  плоскости  имеет вид

                                     .                       

Рассмотрим две  плоскости    и  ,  заданные уравнениями   и  .  При любом расположении  этих плоскостей  в  пространстве  один из углов   между ними равен углу между  их нормальными  векторами   и  ,  и вычисляется по формуле

         .      (7)

Второй угол равен  .

Если   плоскости    и   взаимно перпендикулярны,  то  их нормальные  векторы   и   также перпендикулярны друг другу,  и наоборот. Поэтому из формулы  (7) непосредственно получаем условие перпендикулярности  плоскостей  и  :

                              .

Если   плоскости    и   параллельны,  то  их нормальные  векторы   и   коллинеарны ,  и наоборот.  Но тогда

                                    .                         (8)

Условие   (8) является  условием параллельности  плоскостей  и  .

                             

7)Каждую   прямую можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и определить  ее заданием двух уравнений первой степени. Пусть задана некоторая прямоугольная система координат  и   произвольная прямая  .  Обозначим через   и    две различных плоскости, пересекающейся по прямой   ,  заданные соответствующими уравнениями

                                               (9)

Уравнения (9) совместно определяют прямую   в том и только в том случае, когда нормальные векторы этих плоскостей   и   не коллинеарны.

Определение.  Уравнения вида (9) называются общими уравнениями прямой  .

Но уравнения (9) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.   Пусть дана прямая     и ненулевой вектор . Вектор    называется направляющим вектором данной прямой.  Пусть   - произвольная точка.  Она  лежит на прямой тогда и  только тогда, когда вектор    коллинеарен направляющим векторам, т.е. когда координаты    пропорциональны координатам  :

                                                 .                     (10)

Определение.  Уравнения вида (10) называют  каноническими уравнениями прямой  .

Пусть  прямая    задана в каноническом виде (10).  Обозначим  через   

каждое из  равных  отношений.  Тогда

                                                        .

Откуда

                                                                                      (11)

Определение.  Равенства  вида (11) называют  параметрическими уравнениями прямой  .

Параметрические уравнения удобны в случае, когда требуется найти  точку  пересечения прямой и плоскости.

Прямые    и   параллельны в том и только в том случае, когда их направляющие  векторы   и    коллинеарны.

Определение.  Прямые    и   параллельны, если выполняется условие

                                     .          

Прямые    и   перпендикулярны в том и только в том случае, когда их направляющие  векторы   и    перпендикулярны.

Определение.  Прямые    и   перпендикулярны, если выполняется условие

                                        .

 

8)  Если рассмотрим две прямые    и  ,  заданные уравнениями:

    и    ,

то один из двух углов между ними равен углу    между их направляющими векторами     и   и вычисляется по формуле:

         .     

Второй угол равен  .