ЛЕКЦИИ 3, 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

План лекции:

1) Системы линейных алгебраических уравнений.

2) Матричный метод.

3) Метод Крамера.

4) Метод исключений Гаусса.

1) Система линейных уравнений с переменными имеет вид

(1)

где - произвольные числа, которые называются соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Определение. Решение системы (1) называется такая совокупность чисел , при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Определение. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение. Две системы называются равносильными или эквивалентными (~), если имеют одно и то же множество решений.

Пусть число решений системы (1) равно числу переменных, т.е. . Тогда матрица системы (1) является квадратной, а ее определитель называется определителем системы.

Существует несколько методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определение. Матрица, в которой кроме матрицы системы, включен столбец свободных членов, называется расширенной матрицей матрицы :

2) Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:

где - матрица коэффициентов при переменных или матрица системы, - матрица-столбец переменных, - матрица-столбец свободных членов.

Для решения системы (1) при предположим, что квадратная матрица невырожденная, т.е. . Тогда существует обратная матрица .

Умножим слева матрицу уравнения на матрицу и получим

то решением системы матричным методом является матрица-столбец

Пример. Решить систему уравнений матричным методом

Решение. Для нахождения обратной матрицы вычислим определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы:

;

; ;

Найдем по формуле обратную матрицу:

Ответ.

3)Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы , - определитель матрицы, полученный из матрицы заменой - ого столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Пример. Решить эту же систему уравнений методом Крамера

Решение. Вычислим определитель матрицы :

По формулам Крамера:

Ответ.

4) Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными матричным методом и методом Крамера является большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей. Рассмотрим метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных, заключенный в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного видов, из которых последовательно, начиная с последнего (по номеру) переменного, находят все остальные переменные. Преобразования Гаусса удобнее проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а матрицами их коэффициентов.