ЛЕКЦИЯ 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

План лекции:

1) Матрицы и действия над ними.

2) Определители второго и третьего порядков и их свойства.

3) Ранг матрицы и обратная матрица.

1) Определение. Матрицей размера называется система чисел, расположенных в прямоугольной таблице из строк и столбцов вида

. (1)

Числа , , …, называются элементами матрицы.

Пример.

- матрица размера .

Определение. Матрица (1), у которой число строк равно числу столбцов, т.е. матрица вида

(2)

называется квадратной матрицей -го порядка. В квадратной матрице элементы , , …, образуют главную диагональ.

Пример.

- матрица 3-го порядка.

Определение. Квадратная матрица (2) называется диагональной, если все ее элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Пример.

.

Определение. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, называется единичной матрицей и обозначается через , т.е.

.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается .

Определение. Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны.

Определение. Суммой (разностью) двух матриц одинаковых размеров называется матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов этих матриц.

Пример. Даны матрицы и .

; .

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой умножен на это число.

Пример. Дана матрица .

.

Определение. Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Пример. Матрицы и - согласованные.

Определение. Произведением матрицы , согласованной с матрицей , называется такая матрица , для которой элемент равен сумме произведений элементов - ой строки матрицы на соответствующие элементы - ого столбца матрицы , т.е.

().

Пример. Даны матрицы и .

.

Для произведения матриц переместительный закон не выполняется.

Определение. Матрица, полученная из данной матрицы заменой ее строк соответствующими по номеру столбцами (или наоборот), называется транспонированной матрицей и обозначается через .

Пример. Для матрицы транспонированной является матрица

2) Определение. Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице , называется число, определяемое формулой

и обозначается через или .

Пример. Дана матрица .

.

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число, определяемое формулой

. (3)

Пример. Дана матрица .

.

Определение. Минором элемента определителя называется определитель, составленный из оставшихся элементов определителя после вычеркивания его элементов - ой строки и - ого столбца на пересечении которых стоит этот элемент и обозначается минор через .

Пример. Дана матрица .

; .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком , и обозначается через , т.е.

.

Пример. В предыдущем примере .

Свойства определителей:

1)Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы - строками.

2) Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

3) При перестановке двух строк (столбцов) определитель лишь меняет свой знак на противоположный.

4) Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

5) Определитель равен нулю:

a) если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю;

б) у определителя две одинаковые или пропорциональные строки (столбцы);

в) если все элементы некоторой строки (столбца) определителя есть линейная комбинация элементов остальных строк (столбцов).

6) Определитель равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Например, определитель (3) можно вычислить по формуле

.

3) Определение. Минором - го порядка матрицы называется определитель - го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов матрицы и обозначается через .

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля и обозначается через .

Определение. Если , то все неравные нулю миноры - го порядка матрицы называются ее базисными минорами.

Элементарными преобразованиями матрицы являются:

1) умножение элементов строки (столбца) матрицы на любое число

2) перестановка местами двух строк или столбцов;

3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов ее другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Утверждение 1. При элементарных преобразованиях и при транспонировании ранг матрицы не меняется.

Утверждение 2. Если какой-нибудь минор - го порядка матрицы , а все миноры - го порядка, окаймляющие его равны нулю, то .

Пример. Вычислить ранг матрицы .

Шаг 1: четвертую и пятую строки сократим соответственно на 2и 3 и получим матрицу эквивалентную матрице , т.е. ~:

;

Шаг 2: четвертую и пятую строки обратим в нули, прибавим к ним первую, умноженную на (-1) и получим матрицу ~:

;

Шаг 3: отбросим последние две нулевые строки и получим матрицу ~:

.

Ранг матрицы , так как число ее строк равно 3. Вычислим минор третьего порядка:

. Следовательно, .

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если .

Определение. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если , где - единичная матрица такой же размерности, что и .

Для всякой невырожденной квадратной матрицы существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

,

где - алгебраические дополнения элементов .

Пример. Найти обратную матрицу и результат проверить:

.

Решение. Сначала убедимся, что матрица невырожденная:

.

Это означает, что обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента этой матрицы:

; ;

; ;

; ;

Найдем по формуле обратную матрицу:

Сделаем проверку :

.