ЛЕКЦИЯ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

План лекции:

1) Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

2) А1ифметические операции над ними.

3) Числовая ось. Измерение отрезков.

1) Определение. Натуральными числами называются числа, используемые при счете. - множество натуральных чисел.

Определение. Целыми числами называются натуральные числа, им противоположные и нуль. - множество целых чисел.

Определение. Рациональными числами называются числа, представимые в виде дроби, где числитель – целое число, а знаменатель – натуральное:

.

Рациональным числом также называется бесконечная периодическая десятичная дробь.

Примеры: ; ; – рациональные числа.

Хотя рациональных чисел бесконечно много, но их не хватает для измерения длин, площадей и объемов.

Задача. Найти диагональ квадрата со стороной 1.

По теореме Пифагора диагональ квадрата равна . .

Мы видим, что стороны квадрата и диагональ несоизмеримые отрезки. Следовательно, нам надо расширить класс рациональных чисел. Кроме бесконечных периодических дробей существуют и непериодические десятичные дроби.

Определение. Иррациональными числами называются непериодические десятичные дроби.

Примеры:, , - иррациональные числа. Задача измерения величин будет решена, если объединить периодические и непериодические дроби.

Определение. Вещественными или действительными числами называются бесконечные десятичные дроби без периода, взятые со знаком «» или «-» . Множество вещественных чисел будем обозначать: (real).

Определение. Множество называется числовым и пишут , если оно состоит из некоторых действительных чисел.

2) Основные свойства действительных чисел:

Для любой пары действительных чисел и определены единственным образом два действительных числа и , называемые их суммой и произведением. Для них выполняются следующие свойства:

1) (переместительное свойство);

2) (сочетательное свойство);

3) Существует такое число 0, что

4) Для любого числа существует такое число -, что

5) (переместительное свойство);

6) (сочетательное свойство);

7) (распределительное свойство);

8) Существует единственное число такое, что

9) Для любого числа существует такое число , что

Для любых действительных чисел и имеет место одно из соотношений: , , .

Отношение обладает свойством транзитивности : и , то .

Отношение обладает свойствами: для любых , и :

10) Если и , то ;

11) Если , то ;

12) Если и , то .

Аналогичны свойства и для отношения .

3) Рассмотрим геометрическое изображение действительных чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью), некоторую точку (начало координат) и масштабную единицу.

Определение. Прямая, с выбранным направлением и началом координат и масштабной единицей называется координатной прямой.

Пусть - произвольная точка на прямой. Поставим в соответствие точке число , равное величине направленного отрезка . Число называется координатой точки . Т.е. каждой точке координатной прямой будет соответствовать определенное действительное число - ее координата.

1

Имеет место и обратное

Утверждение. Каждому действительному числу соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно такая точка , координата которой равна .

Вышеприведенной задачей мы показали невозможность снабдить, оставаясь в области рациональных чисел, все отрезки длинами. Покажем, что произведенное расширение числовой области достаточно для решения задачи измерения отрезков.

Требуется с каждым прямолинейным отрезком связать некоторое положительное вещественное число , которое мы будем называть «длиной отрезка », так, чтобы

1) некоторый наперед выбранный отрезок («эталон длины») имел длину 1:

2) равные отрезки имели одну и ту же длину;

3) при сложении отрезков длина суммы длин всегда была бы равна сумме длин складываемых отрезков:

(свойство аддитивности).

Поставленные условия приводят к однозначному решению задачи.

Для того, чтобы сравнить действительные числа, достаточно найти их разность и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительной, то первое число (уменьшаемое) будет больше второго числа (вычитаемого). Если разность этих чисел будет отрицательной, то наоборот.

Пример. Сравнить и .

Для сравнения этих чисел найдем их разность .

Для вычитания этих чисел мы привели их к общему знаменателю, который равен 3. После этого, используя правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, мы вычли из первого числителя второй, а знаменатели оставили прежними. Так как разность этих чисел получилась отрицательной, то делаем вывод, что первое число меньше второго, т.е. .