Тема 7. Элементы теории вероятности и математической статистики

И аналитические и имитационные модели можно использовать для решения задач, включающих случайные события и случайные величины. (При этом имитационные модели требуют проведения большого числа испытаний).

1. Распределение случайных величин

Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать любые заранее неизвестные значения. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Примеры дискретных случайных величин:

1) Число родившихся детей в течение суток в г. Москве;

2) Количество бракованных изделий в данной партии;

3) Число произведенных выстрелов до первого попадания;

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.

Примеры непрерывных случайных величин:

1) время заправки автомашины на автозаправочной станции;

2) дальность полета артиллерийского снаряда;

3) расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Случайная величина обычно означается прописной буквой латинского алфавита (X,Y), ее конкретные значения – строчными буквами (x,y). Для дискретных случайных величин при решении конкретных задач указываются их возможные числовые значения. Например, .

Пусть дискретная случайная величина Х может принимать n значений . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений . Дискретные значения случайной величины и вероятности их появления удобно записывать в следующем виде:

X			…
P			…

Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000р., 10 выигрышей по 10 000р. и 100 выигрышей по 100р. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Здесь возможные значения для Х есть: Согласно классическому определению вероятности события ( где m – число благоприятствующих исходов и n – число всевозможных исходов) вероятности будут: Поскольку число всевозможных исходов равно количеству билетов n=10000, а число благоприятствующих исходов соответственно 100,10,1. Зная, что , находим Следовательно, закон распределения выигрыша Х может быть задан таблицей:

Х	0	100	10 000	100 000
р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на основе закона ее распределения.

Пусть случайная величина Х имеет закон распределения

Х			…
p			…

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большего числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины.

Укажем основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

M(C)=C, C=const;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX)=C M(X);

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+Y)=M(X)+M(Y), для любых X и Y;

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)=M(X)*M(Y).

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Определение. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X-M (X).

Определение. Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата разности отклонения (X-M(X));

Формула дисперсии в развернутом виде:

Задача 2. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным задачи 1.

Решение. Для решения будем использовать формулу

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Математическое ожидание подсчитывается из этой таблицы:

Математическое ожидание M(X)=2,675. Тогда получаем искомую величину дисперсию:

Приведем основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равно нулю:

D(C)=0, где C=const.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X+Y)=D(X)+D(Y),

Из свойств дисперсии 1 и 3 следует важный вывод: D(X+C)=D(X), где C – постоянная величина.

Пример. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) -3Х; б) 4Х+3.

А) D(-3X)=9D(X)=9*3=27;

Б) D(4X+3)=D(4X)+D(3)=16D(X)+0=16*3=48

4. Среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии

Свойства среднего квадратического отклонения

1.

2.