Тема 7. Моделирование исторических процессов

1. Математические моделирование

Моделирование - общенаучный метод, который широко используется не только в естественных, но и в социально-гуманитарных науках. Его успешно применяют экономисты, политологи, социологи, представители других общественных наук. Этот метод доказал свою эффективность и в исторических исследованиях. В общем плане можно выделить следующие виды моделей: вербальные, физические и математические.

Математическая модель — это система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Как правило, в конкретных приложениях математики чаще имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними, описываемых уравнениями или их системами.

Поэтому математическая модель рассматривается как система уравнений, в которых конкретные величины заменяются математическими понятиями, постоянными и переменными величинами, функциями. Обычно для этого применяются и дифференциальные, интегральные и алгебраические уравнения.

На сегодняшний день большинство работ, связанных с использованием математических методов в исторических исследованиях основано на статистической обработке данных исторических источников. Эти работы следует отнести к первому этапу математических научных исследований. Совершенствование методологии исторических исследований в 80-х годах прошлого века создало предпосылки для перехода ко второму этапу-построению математических моделей исторических процессов. С помощью моделирования получены значимые результаты при исследовании социальной мобильности в период НЭП в России в конце XIX-XX вв. В 1996г опубликован сборник статей «Математическое моделирование исторических процессов». Отметим, что проблема моделирования исторических процессов обладает выраженной спецификой, обоснование которой дается в работах И.Д. Ковальченко. Предложенная им типология включает отражательно-измерительные и имитационные модели, делящиеся на контрфактические и альтернативные.

Наиболее знаменитой попыткой профессионального контрфактического моделирования истории является работа лауреата нобелевской премии по экономике американского учёного Роберта Фогеля «Железные дороги и экономический рост» (1964). В этом исследовании моделируется развитии Америки XIX века при отсутствии железных дорог. При этом оспаривается устоявшееся мнение, что строительство железных дорог было главным и решающим стимулом развития всех остальных отраслей хозяйства и вообще развития капитализма. Р. Фогель доказывает, что основными путями сообщения стали бы водные и гужевые перевозки.

2. Примеры математического моделирования

К началу XXI века сформировались три класса математических моделей исторических процессов:

1) статистические (регрессивные и модели факторного анализа);

2) имитационные (конечно- разностные уравнения);

3) аналитические, в которых используется аппарат дифференциальных уравнений и марковских цепей.

Примером заимствования моделей, разработанных в естественных науках, может служить модель роста численности популяции. Простейшая модель такого вида (закон экспоненциального роста) была использована в XIXв. Мальтусом. Однако она не учитывала, что общий объем жизненных ресурсов накладывает естественные ограничения на динамику развития процессов. С учетом таких ограничений процессы роста описываются логистической моделью. Логистическая модель роста народонаселения была предложена в XXв. Ферхюльстом и представляла собой дифференциальное уравнение вида:

,

где - численность популяции. Первое слагаемое правой части дает информацию о неограниченном росте, второе – показывает влияние внутривидовой конкуренции на рост популяции.

Другие примеры математического моделирования были получены при изучении электорального поведения (модель клеточных автоматов), изучении Карибского кризиса 1962г (теоретико-игровая модель). Модели позволяют не только углубить понимание развивающихся систем, но и прогнозировать их развитие. Известно модель Н.Моисеева для анализа последствий ядерной войны. Доказано что, если каждая сторона сторана используют около 50 зарядов, что составляет 0,3% мирового арсенала, то на Земле наступит климатический эффект, сопоставимый с ледниковым периодом- так называемый «эффект ядерной зимы». Целая серия математических моделей аналитического типа была предложена в работах Бокарева. Л.И.Бородкином и Свищевым в 1990г. были получены интересные результаты при изучении социальной мобильности в период НЭП, процессов дифференциации доколхозного крестьянства. Было доказано, что эти процессы не вели к социальной «поляризации» деревни. Построение моделей этими историками осуществлялось с помощью дифференциальных и разностных уравнений. Разностные уравнения применяются, когда состояния исследуемого процесса фиксируется в определенные дискретные моменты времени. Интервал времени при этом предполагается постоянным. Если же интервал становится бесконечно малым, то процесс рассматривается как непрерывный и изучается с помощью дифференциальных уравнений .

3. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Пусть функция определена и непрерывна на интервале ,

фиксированная, произвольная точки этого интервала. Введем обозначения:

приращение аргумента,

приращение функции.

Производной функции в точке называется предел разностного отношения:

Дифференциальным уравнением называют равенство, связывающая независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные .

Решением дифференциального уравнения называют функцию , которая при подстановке обращает уравнение в тождество. Порядком дифференциального уравнения называют наивысший из порядков производных, входящих в уравнение. Например, дифферен-циальное уравнение 2-го порядка, имеет бесконечно много решений.

Различают частные решения и общие. Общее решение содержит произвольные постоянные. Обычно их количество совпадает с порядком уравнения. Фиксируя эти произвольные постоянные, мы получаем частные решения.

Иногда решение дифференциального уравнения не удается записать в явном виде . Тогда его называют общим интегралом дифференциального уравнения и записывают в виде .

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид . Разрешив его относительно производной, если это возможно, получим уравнение

(1)

Если функция в некоторой области имеет ограниченные частные производные, то, оказывается, что через каждую внутреннюю точку этой области пройдет единственная интегральная кривая, т.е. уравнение (1) имеет в этой области общее решение или общий интеграл

Уравнение (1) может быть записано в виде:

или

Дифференциальное уравнение 1-го порядка

(2)

называется уравнением с разделяющими переменными, если коэффициенты при дифференциалах, являющиеся функциями переменных разлагают-ся на произведение множителей, зависящих только от и только от , т.е. если это уравнение записывается виде

Разделим обе части этого уравнения на получим

Интегрируя последнее равенство запишем общий интеграл уравнения (2).