МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
образования
«ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет Управления
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
по дисциплине
ЭКОНОМЕТРИКА
Кафедра Математического моделирования, эконометрики и
статистики
Разработчик:
ст.преп. кафедры Османова
М.М.
Оглавление
Лабораторная работа №1. Парная
регрессия и корреляция.
1.2
Реализация типовых задач на компьютере.
Лабораторная
работа №2. Множественная регрессия и
корреляция.
2.2.Технология
решения задач корреляционного и регрессионного анализа с помощью пакета
анализа.
Лабораторная
работа № 3. «Анализ и прогнозирование временных рядов в среде Excel»
1. Основные понятия и определения.
2. Анализ
временных рядов с помощью инструмента Excel-Мастер Диаграмм
Парная регрессия - уравнение связи двух
переменных у
и х:
где y - зависимая переменная (результативный признак);
x - независимая, объясняющая
переменная (признак-фактор).
Различают
линейные и нелинейные регрессии.
Линейная
регрессия: y=a+b×x+ε.
Нелинейные
регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных
в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и
регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии,
нелинейные по объясняющим переменным:
·
полиномы разных степеней y=a+b1×x+b2×x2+b3× x3+ε
·
равносторонняя гипербола
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
·
степенная y=a× xb×ε
·
показательная y=a× bx×ε
·
экспоненциальная y=ea+b×x×ε
Построение уравнения
регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий,
линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК
позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов
отклонений фактических значений результативного признака у
от теоретических минимальна, т.е.
Для линейных и нелинейных
уравнений, приводимых к линейным, решается следующая
система относительно а и Ь:
Можно
воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:
Тесноту связи изучаемых
явлений оценивает линейный коэффициент
парной корреляции rxy, для линейной
регрессии (-1£ rxy£1):
и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии (0£ ρxy£1):
Оценку качества
построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя
ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка
аппроксимации - среднее отклонение
расчетных значений от фактических:
Допустимый предел
значений - не более 8 - 10%.
Средний
коэффициент эластичности показывает, на сколько
процентов в среднем по совокупности изменится результат у
от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе
дисперсии зависимой переменной:
где - общая сумма квадратов отклонений;
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией
(«объясненная» или
«факторная»);
- остаточная сумма квадратов
отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую
регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:
.
Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса
корреляции.
F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но статистической не
значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого
выполняется сравнение фактического Fфакг и критического (табличного)
Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт
определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий,
рассчитанных на одну степень свободы:
где п —
число единиц совокупности;
m - число параметров при переменных
x..
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных
факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть правильную
гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.
Если Fтабл <
Fфакг,
то Hо - гипотеза о случайной природе оцениваемых
характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и
надежность. Если Fтабл >
Fфакг,
то гипотеза Hо не отклоняется и
признается статистическая не значимость, ненадежность y уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии
и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные
интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от
нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью
меритерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной
случайной ошибки:
Случайные ошибки параметров
линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
Сравнивая фактическое и
критическое (табличное) значения t-статистики –
t-табл и tфакг - принимаем или отвергаем гипотезу Hо
Связь между F-критерием Фишера и f-статистикой Стьюдента выражается равенством
Если tтабл <
tфакг,
то Но отклоняется, т.е. a, b и rxy не случайно отличаются от нуля и
сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл >
tфакт.
то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или rxy
Для расчета
доверительного интервала определяем предельную
ошибку Δ для каждого показателя:
Δa=tтаблmа, Δb=tтаблmb,
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий
вид:
Если в границы
доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а
верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым,
так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное
значения.
Прогнозное значение yp определяется путем подстановки в уравнение
регрессии соответствующего
(прогнозного) значения Хр. Вычисляется
средняя стандартная ошибка прогноза
где
и строится доверительный
интервал прогноза:
где
Решение с помощью ППП Excel
1. Встроенная статистическая функция
ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии y=a+b×x.
Порядок вычисления следующий:
1. введите исходные данные или
откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2. выделите область пустых
ячеек 5х2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов
регрессионной статистики или область 1х2 -
для получения только оценок коэффициентов регрессии;
3. активизируйте Мастер функций
любым из способов:
а) в главном меню выберите
Вставка/Функция;
б) на панели инструментов Стандартная
щелкните по кнопке
Вставка/Функция;
4. окне Категория (рис. 1.1) выберите Статистические, в окне- ЛИНЕЙН.
Щелкните по кнопке ОК;
5. заполните аргументы функции
(рис. 1.2):
Рис. 1.1. Диалоговое окно
«Мастер функций»
Известные_значения_у - диапазон, содержащий данные
результативного признака;
Рис. 1.2. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН
Известные_значения_х - диапазон, содержащий данные
факторов независимого признака;
Константа - логическое значение, которое указывает на
наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным
образом, если Константа = 0, то
свободный член равен 0;
Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить
дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится,
если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров
уравнения.
Щелкните по кнопке ОК;
6. в левой верхней ячейке
выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть
всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем - на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.
Дополнительная регрессионная
статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:
Значение коэффициента b |
Значение коэффициента а |
Среднеквадратическое отклонение b |
Среднеквадратическое отклонение а |
Коэффициент детерминации R2 |
Среднеквадратическое отклонение у |
F-статистика |
Число степеней свободы |
Регрессионная сумма квадратов |
Остаточная сумма квадратов |
Для вычисления
параметров экспоненциальной кривой y=α×βx в MS Excel применяется встроенная
статистическая функция ЛГРФПРИБЛ.
Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.
Для данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕЙН представлен на рис. 1.3, функции ЛГРФПРИБЛ - на рис.1.4.
Рис. 1.3. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН
Рис. 1.4. Результат вычисления функции ЛГФПРИБЛ
2.С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики,
дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и
графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок
действий следующий:
1)
проверьте доступ к
пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис /Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 1.5);
Рис. 1.5. Подключение надстройки Пакет анализа.
2) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;
3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров
вывода (рис. 1.6):
Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака;
Входной интервал Х - диапазон, содержащий данные факторов
независимого признака;
Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия
столбцов или нет;
Константа - ноль -
флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;
Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку
будущего диапазона;
Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.
Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите
соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке OK.
Рис. 1.6. Диалоговое окно ввода
параметров инструмента Регрессия.
Рис. 1.7. Результат применения
инструмента Регрессия.
В задачах 1-8 выполните:
Задание
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о
форме связи
2. Рассчитайте параметры
уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной,
гиперболической регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей
корреляции и детерминации
4. "Дайте с помощью
среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи
фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней
ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность
результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик,
рассчитанных в пп. 4,
5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его
обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное
значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите
доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической
записке.
Задача 1. По территориям Центрального
района известны данные за
Таблица 1.1
Район |
Доля денежных
доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах.
займах. сертификатах и на покупку валюты, в общей
сумме среднедушевого денежного дохода, %,
у |
Среднемесячная
начисленная заработная плата, тыс. руб., х |
Брянская обл. |
6,9 |
289 |
Владимирская обл. |
8,7 |
334 |
Ивановская обл. |
6,4 |
300 |
Калужская обл. |
8,4 |
343 |
Костромская обл. |
6,1 |
356 |
Орловская обл. |
9,4 |
289 |
Рязанская
обл. |
11,0 |
341 |
Смоленская обл. |
6,4 |
327 |
Тверская
обл. |
9,3 |
357 |
Тульская обл. |
8,2 |
352 |
Ярославская обл. |
8,6 |
381 |
Задача 2.
По территориям Центрального
района известны данные за
Таблица 1.2
Район |
Средний размер
назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., у |
Прожиточный
минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., х |
Брянская обл. |
240 |
178 |
Владимирская обл. |
226 |
202 |
Ивановская обл. |
221 |
197 |
Калужская обл. |
226 |
201 |
Костромская обл. |
220 |
189 |
г. Москва |
250 |
302 |
Московская обл. |
237 |
215 |
Орловская обл. |
232 |
166 |
Рязанская обл. |
215 |
199 |
Смоленская обл. |
220 |
180 |
Тверская обл. |
222 |
181 |
Тульская обл. |
231 |
186 |
Ярославская обл. |
229 |
250 |
Задача 3.
По территориям Центрального и
Волго-Вятского районов известны данные за ноябрь
Таблица 1.3
Район |
Средняя
заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., у |
Прожиточный
минимум в среднем на душу населения, тыс. руб., х |
Центральный |
|
|
Брянская обл. |
615 |
289 |
Владимирская обл. |
727 |
338 |
Ивановская обл. |
584 |
287 |
Калужская обл. |
753 |
324 |
Костромская обл. |
707 |
307 |
Орловская обл. |
653 |
304 |
Рязанская обл. |
654 |
307 |
Смоленская обл. |
693 |
290 |
Тверская обл. |
704 |
314 |
Тульская обл. |
780 |
304 |
Ярославская обл. |
830 |
341 |
Волго-Вятский район |
|
|
Респ. Марий Эл |
554 |
364 |
Респ. Мордовия |
560 |
342 |
Чувашская Респ. |
545 |
310 |
Кировская обл. |
672 |
411 |
Нижегородская обл. |
796 |
304 |
Задача 4.
По территориям
Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные
за ноябрь
Таблица 1.4
Район |
Потребительские
расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у |
Средняя
заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х |
Волго-Вятский |
|
|
Респ. Марий Эл |
302 |
554 |
Респ. Мордовия |
360 |
560 |
Чувашская Респ. |
310 |
545 |
Кировская обл. |
415 |
672 |
Нижегородская обл. - |
452 |
796 |
Центрально-Черноземный |
|
|
Белгородская обл. |
502 |
777 |
Воронежская обл. |
355 |
632 |
Курская обл. |
416 |
688 |
Липецкая обл. |
501 |
833 |
Тамбовская обл. |
403 |
577 |
Поволжский |
|
|
Респ. Калмыкия |
208 |
584 |
Респ. Татарстан |
462 |
949 |
Астраханская
обл. |
368 |
888 |
Волгоградская обл. |
399 |
831 |
Пензенская обл. |
342 |
562 |
Саратовская обл. |
354 |
665 |
Ульяновская обл. |
558 |
705 |
Задача 5.
По территориям Северного,
Северо-западного и Центрального районов известны данные за ноябрь
Таблица 1.5
Район |
Потребительские
расходы на душу населения, тыс. руб., у |
Денежные доходы
на душу населения, тыс. руб., х |
Северный |
|
|
Респ. Карелия |
596 |
913 |
Респ. Коми |
417 |
1095 |
Архангельская обл. |
354 |
606 |
Вологодски обл. |
526 |
876 |
Мурманская обл. |
934 |
1314 |
Сеаеро-Западный |
|
|
Ленинградская обл. |
412 |
593 |
Новгородская обл. |
525 |
754 |
Псковская обл. |
367 |
528 |
Центральный |
|
|
Брянская обл. |
364 |
520 |
Владимирская обл. |
336 |
539 |
Ивановская обл. |
409 |
540 |
Калужская обл. |
452 |
682 |
Костромская обл. |
367 |
537 |
Московская обл. |
328 |
589 |
Орловская обл. |
460 |
626 |
Рязанская обл. |
380 |
521 |
Смоленская обл. |
439 |
626 |
Тверская обл. |
344 |
521 |
Тульская обл. |
401 |
658 |
Ярославская обл. |
514 |
746 |
Задача 6.
По территориям
Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь
Таблица 1.6
Район |
Потребительские
расходы на душу населения, тыс. руб., у |
Денежные доходы
на душу населения, тыс. руб., х |
Восточно-Сибирский |
|
|
"Респ. Бурятия |
408 |
524 |
Рссп. Тыва |
249 |
371 |
Респ. Хакасия |
253 |
453 |
Красноярский край |
580 |
1006 |
Иркутская обл. |
651 |
997 |
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ. |
139 |
217 |
Читинская обл. |
322 |
486 |
Респ. Саха (Якутия) |
899 |
1989 |
Еврейская
авт. обл. |
330 |
595 |
Чукотский
авт. округ |
446 |
1550 |
Приморский край |
642 |
937 |
Хабаровский край |
542 |
761 |
Амурская
обл. |
504 |
767 |
Камчатская
обл. |
861 |
1720 |
Магаданская
обл. |
707 |
1735 |
Сахалинская
обл. |
557 |
1052 |
Задача 7
По территориям
Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь
Таблица 1.7
Район |
Потребительские
расходы на душу населения, тыс. руб., у |
Денежные доходы
на душу населения, тыс. руб., х |
Уральский |
|
|
Респ. Башкортостан |
461 |
632 |
Удмуртская Респ. |
524 |
738 |
Курганская обл. |
298 |
515 |
Оренбургская обл. |
351 |
640 |
Пермская обл. |
624 |
942 |
Свердловская обл. |
584 |
888 |
Челябинская обл. |
425 |
704 |
Западносибирский район |
|
|
Респ. Алтай |
277 |
603 |
Алтайский край |
321 |
439 |
Кемеровская обл. |
573 |
985 |
Новосибирская обл. |
576 |
737 |
Омская обл. |
588 |
760 |
Томская обл. |
497 |
830 |
Тюменская обл. |
863 |
2093 |
Задача 8.
По территориям Уральского и
Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь
Таблица 1.8
Район |
Потребительские
расходы на душу населения, тыс. руб., у |
Средняя
заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х |
Уральский |
|
|
Респ. Башкортостан |
461 |
912 |
Удмуртская Респ. |
524 |
809 |
Курганская обл. |
298 |
748 |
Оренбургская обл. |
351 |
847 |
Пермская обл. |
624 |
1087 |
Свердловская обл. |
584 |
1074 |
Челябинская обл. |
425 |
1008 |
Западно-Сибирский |
|
|
Респ. Алтай |
277 |
682 |
Алтайский край |
321 |
697 |
Кемеровская обл. |
573 |
1251 |
Новосибирская обл. |
576 |
967 |
Омская обл. |
588 |
898 |
Томская обл. |
497 |
1263 |
Тюменская обл. |
863 |
3027 |
Задача 9.
По 20 регионам страны изучается зависимость
уровня безработицы у (%) от индекса
потребительских цен x (% к предыдущему году). Информация о логарифмах исходных показателей
представлена в табл. 1.9.
Таблица 1.9
Показатель |
In x; |
In у |
Среднее значение |
0,6 |
1,0 |
Среднее квадратическое
отклонение |
0,4 |
0,2 |
Известно также,
что коэффициент корреляции между логарифмами исходных показателей составил rlnx lny = 0,8.
Задание
1. Постройте уравнение
регрессии зависимости уровня безработицы от индекса потребительских цен в
степенной форме.
2. Дайте интерпретацию коэффициента эластичности данной модели регрессии.
3. Определите значение коэффициента детерминации и поясните его смысл.
Задача 10.
Изучается
зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (табл. 1.10).
Таблица 1.10
Показатель |
Материалоемкость
продукции по заводам |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Потреблено материалов на единицу продукции, кг |
9 |
6 |
5 |
4 |
3,7 |
3,6 |
3,5 |
6 |
7 |
3,5 |
Выпуск продукции, тыс. ед. |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
150 |
120 |
250 |
Задание
1. Найдите параметры уравнения
2. Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции.
3. Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости
продукции.
4. Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.
Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической
записке.
Множественная
регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
Y=f(x1, x2,…..,xp),
где у - зависимая переменная
(результативный признак);
x1, x2,…..,xp), - независимые переменные (факторы).
Основными этапами
построения модели множественной регрессии являются:
1. Построение системы
показателей (факторов). Сбор и предварительный анализ исходных данных.
Построение матрицы коэффициентов парной корреляции.
2. Выбор вида модели и
численная оценка ее параметров.
3. Проверка качества модели.
4. Оценка влияния отдельных
факторов на основе модели.
5. Прогнозирование на основе
модели регрессии.
Построение системы показателей (факторов). Анализ
матрицы коэффициентов парной корреляции
Выбор факторов, влияющих на
исследуемый показатель, производится, прежде всего, исходя из содержательного
экономического анализа. Для получения надежных оценок в модель не следует
включать слишком много факторов. Их число не должно превышать одной трети
объема имеющихся данных (т.е. m ≤n/3)* . Для определения наиболее существенных
факторов могут быть использованы коэффициенты линейной и множественной
корреляции, детерминации частных коэффициентов корреляции.
Отбор факторов для построения многофакторных моделей производится на
основе качественного и количественного анализа социально-экономических явлений
с использованием статистических и математических критериев.
Формирование базы исходных данных. Сначала на основании содержательного
анализа составляется перечень показателей, которые предполагается включить в
модель. Затем производится сбор статистической информации и предварительный
анализ данных.
Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в
таблицу исходных данных (табл. 4.1.1).
На второй стадии производятся сравнительная оценка и отсев части
факторов. Это достигается анализом парных коэффициентов корреляции и оценкой (4.1.1) их значимости (4.1.2). Для этого составляется матрица парных коэффициентов
корреляции, измеряющих тесноту связи каждого из факторов-признаков с
результативным фактором и между собой (табл.
4.1.2).
Таблица 2.1
№ п/п |
Y |
X1 |
X2 |
….. |
Xm |
1 |
Y |
X11 |
X21 |
….. |
Xm1 |
….. |
… |
… |
….. |
….. |
….. |
n |
Yn |
X1n |
X2n |
….. |
Xmn |
Определение значения коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции
определяется по формуле:
где
факторы |
Y |
X1 |
X2 |
…….. |
Xm |
Y |
1 |
Xyx1 |
Xyx2 |
…….. |
Xyxm |
X1 |
Xyx1 |
1 |
Xx1x2 |
…….. |
Xx1xm |
X2 |
Xyx2 |
Xx1x2 |
1 |
…….. |
Xx2xm |
…….. |
…….. |
…….. |
…….. |
…….. |
…….. |
Xm |
Xyx |
Xx1xm |
Xx2xm |
…….. |
1 |
Интерпретация полученной
оценки коэффициента корреляции. Значение коэффициентов парной корреляции лежит
в интервале от -1 до +1. Его положительное значение свидетельствует
о прямой связи, отрицательное - об обратной, т.е. когда растет одна переменная, другая уменьшается.
Чем ближе его значение к 1, тем теснее
связь. Связь считается достаточно сильной, если коэффициент корреляции по
абсолютной величине превышает 0.7. и
слабой, если меньше 0.4. При равенстве
его нулю связь полностью отсутствует. Этот коэффициент дает объективную оценку
тесноты связи лишь при линейной зависимости переменных.
Диаграмма, на которой
изображается совокупность значений двух признаков, называется корреляционным
полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты X, и У,. По мере того, как возрастает сила линейной связи, точки
на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина г будет ближе к
Проверка значимости линейного
коэффициента корреляции. Для оценки значимости коэффициента корреляции
применяется t- критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия
определяется по формуле:
(2.1.2)
Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением
t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом
заданного уровня значимости (а = 0,05) и
числа степеней свободы (n-2).
Если tнабл >t кр, то полученное значение
коэффициента корреляции
признается значимым (т.е. нулевая гипотеза,
утверждающая равенство
нулю коэффициента корреляции, отвергается). Таким образом
делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная
статистическая взаимосвязь.
В модель включают те факторы, связь которых с зависимой переменной
наиболее сильная.
В качестве критерия мультиколлинеарности
может быть принято соблюдение следующих неравенств:
Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются,
то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.
Мулътиколлинеарность. Одним из условий
регрессионной модели является предположение о линейной независимости
объясняющих переменных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы
и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических
показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь
между факторами называется мультиколлинеарностью и
приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление
параметров либо невозможным, либо затрудняет содержательную интерпретацию
параметров модели. Мультиколлинеар-ность может
возникать в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных
могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые
колебания. В частности, так может случиться, когда значения одной независимой
переменной являются лагированными значениями другой.
Считают явление мультиколлинеарности в исходных
данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя
переменными больше 0.8. Чтобы избавиться
от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один
из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей
степени связан с зависимой переменной.
На третьей, заключительной стадии производят окончательный отбор
факторов путем анализа значимости вектора оценок параметров уравнении
множественной регрессии с использованием критерия Стьюдента (k -
количество факторов, включенных в модель после исключения незначимых факторов, k = т, если включены все анализируемые
факторы).
Выбор вида модели и оценка ее параметров
Для отображения зависимости переменных могут использоваться
показательная, параболическая и многие другие функции. Однако в практической
работе наибольшее распространение получили модели линейной взаимосвязи, т.е.
когда факторы входят в модель линейно.
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Yi= а0
+ a1xi1 + а2хiа + ... +
аmхim + εi . (2.1.3)
Анализ уравнения (4.1.3) и методика определения параметров
становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются,
если воспользоваться матричной формой записи уравнения (2.1.4):
Y=Xα+ε. (2.1.4)
Здесь У - вектор зависимой переменной размерности nx1,
представляющий собой n наблюдений значений уi,
Х - матрица независимых переменных,
элементы которой суть n х m наблюдения значений т независимых
переменных Х1 X2, Х3, ..., Хm размерность матрицы Х равна
m х 1; -
α - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности т х 1; ε -
вектор случайных отклонений (возмущений) размерности n х 1. Таким образом,
Уравнение (4.1.4) содержит
значения неизвестных параметров α1, α 2, α m . Эти величины оцениваются на основе выборочных
наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а
представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в
которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно
такие регрессии и применяются на практике), имеет вид
Y=X α +e=+e,
(2.1.5)
где α - вектор оценок параметров; е - вектор «оцененных» отклонений регрессии,
остатки регрессии е = y - Х α; - оценка значений Y равная Х α.
Для оценивания неизвестного вектора параметров к
воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Формула для вычисления
параметров регрессионного уравнения имеет вид:
Α=(XTX)-1XTY. (2.1.6)
Рассмотрим случай
зависимости переменной Y от одного
фактора X. Мы хотим подобрать уравнения.
Используя (4.1.6), можно получить следующие выражения
для вычисления α1 и α0:
(2.1.8)
Проверка
качества модели
Качество модели оценивается стандартным для математических моделей
образом: по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии е.
Расчетные значения получаются путем подстановки в модель фактических значений
всех включенных факторов.
Анализ остатков. Анализ остатков позволяет получить представление,
насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод
оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа,
остатки должны вести себя как независимые (в действительности почти
независимые), одинаково распределенные случайные величины. В классических
методах регрессионного анализа предполагается также нормальный закон
распределения остатков.
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина-
Уотсона [2].
Исследование остатков полезно начинать с изучения их графика. Он может
показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при
подборе простой линейной зависимости между Y и X график остатков может показать необходимость перехода к
нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или
включения в модель периодических компонент.
Выбросы. График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от
модели наблюдения - выбросы. Подобным
аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их
присутствие может грубо искажать значения оценок. Устранение эффектов выбросов
может проводиться либо с помощью удаления этих точек из анализируемых данных
(эта процедура называется цензурированием), либо с
помощью применения методов оценивания параметров, устойчивых к подобным грубым
отклонениям.
Кроме рассмотренных выше
характеристик, целесообразно использовать коэффициент множественной корреляции
(индекс корреляции) R, а
также характеристики существенности модели в целом и отдельных ее
коэффициентов:
(2.1.9)
где - сумма квадратов уравнений остаточной компоненты;
- сумма квадратов
отклонений исходного ряда от его среднего значения.
Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту
связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи
переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент
множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции.
Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в
квадрат (R2), называется коэффициентом детерминации.
(2.1.10)
Он показывает долю вариации результативного признака, находящегося под
воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на
него факторов.
В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих
переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент
детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных.
Скорректированный R2, или , рассчитывается так:
где n - число наблюдения; k - число независимых
переменных.
В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии
остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов
уровней остаточной компоненты к величине (n-k- 1), где k - количество
факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины (Se)
называется стандартной ошибкой оценки.
Для проверки значимости модели регрессии используется F-значение, вычисляемое как отношение
дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если
расчетное значение с Vi = (n - 1) и v2 =
(n - k - 1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне
значимости, то модель считается значимой:
(2.1.11)
Если существует k независимых
переменных, то будет k + 1 коэффициентов регрессии (включая постоянную),
отсюда число степеней свободы составит n -
(k + 1) или n - k - 1.
Целесообразно проанализировать также значимость отдельных коэффициентов
регрессии. Это осуществляется по t-статистике путем проверки гипотезы о
равенстве нулю j-го параметра уравнения
(кроме свободного члена):
(2.1.12)
где Sαj, - это стандартное (среднее квадратическое)
отклонение коэффициента уравнения регрессии αj.
Величина Sαj представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной
оценки дисперсии Se и j-го
диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений.
(2.1.13)
где bjj – диагональный элемент матрицы (XTX)-1.
Если расчетное значение
г-критерия с (n- k - 1) степенями свободы
превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент
регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому
коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).
Оценка влияния отдельных
факторов на основе модели на зависимую переменную (коэффициенты эластичности и
β-коэффициенты)
Важную роль при оценке
влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако
непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния
на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий при
интерпретации применяются средние частные коэффициенты эластичности Э(j) и
β -коэффициенты β(t), которые рассчитываются соответственно по
формулам:
Э(j)=α(j)×Xср/Yср (2.1.14)
β (j)=α(j)×Sij/Sy (2.1.15)
где Sij - среднее квадратическое
отклонение фактора j.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется
зависимая переменная при изменении фактора. j
на 1%. Однако он не учитывает
степень колеблемости факторов.
Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения Sy,
изменится зависимая переменная Y с изменением
соответствующей независимой переменной Xj
на величину своего среднего квадратического отклонения
при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых
переменных.
Указанные коэффициенты позволяют проранжировать
факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.
Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по
величине дельта-коэффициентов Δ(j):
Δ(j)=ryj β(j)/R2,
где ryj - коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1, .... m) и зависимой переменной.
Использование многофакторных моделей для анализа и
прогнозирования развития экономических систем
Одна из важнейших целей моделирования заключается в прогнозировании
поведения исследуемого объекта. Обычно термин «прогнозирование» используется в
тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для
регрессионных моделей он имеет, однако, более широкое значение. Как уже
отмечалось, данные могут не иметь временной структуры, но и в этих случаях
вполне может возникнуть задача оценить значение
зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных,
которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле - как построение оценки зависимой переменной - и следует понимать прогнозирование в
эконометрике.
Проблема прогнозирования имеет много различных аспектов. Можно
различать точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка - это конкретное число, во втором - интервал, в котором истинное значение
переменной находится с заданным уровнем доверия. Кроме того, для временных
рядов при нахождении прогноза существенно наличие или отсутствие корреляции по
времени между ошибками.
При использовании построенной модели для прогнозирования делается
предположение о сохранении в период прогнозирования существовавших ранее
взаимосвязей переменных.
Для прогнозирования зависимой переменной на l шагов вперед необходимо знать прогнозные значения всех входящих
в нее факторов. Их оценки могут быть получены на основе временных экстраполяционных моделей или заданы пользователем. Эти
оценки подставляются в модель, и получаются прогнозные оценки.
Построение точечных и интервальных прогнозов на основе регрессионной
модели. Какие факторы влияют на ширину доверительного интервала? Для того, чтобы определить область возможных значений
результативного показателя, при рассчитанных значениях факторов следует
учитывать два возможных источника ошибок: рассеивание наблюдений относительно
линии регрессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом построения
самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик
точности, в частности, величиной .
Ошибки второго рода обусловлены фиксацией численного
значения коэффициентов регрессии, в то время как они в действительности
являются случайными, нормально распределенными.
Для линейной модели доверительный интервал рассчитывается следующим
образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее
буквой U):
(2.1.16)
(2.1.17)
Для модели парной регрессии формула (4.1.16)
принимает вид:
(2.1.18)
Коэффициент tα является табличным
значением t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости а и числа
наблюдений, l - период прогнозирования.
Если исследователь задает вероятность попадания прогнозируемой величины внутрь
доверительного интервала, равную 70%, то tα = 1.05. Если вероятность составляет 95%, то tα = 1.96, а при 99% tα =2.65.
Как видно из формулы (4.1.18).
величина U прямо пропорционально зависит
от точности модели ( ), коэффициента
доверительной вероятности (tα), степени удаления прогнозной оценки фактора Х от среднего значения и
обратно пропорциональна объему наблюдений.
В свою очередь
.
(2.1.19)
В результате получаем следующий интервал прогноза для шага
прогнозирования l:
-
верхняя граница прогноза равна Y(n + l) + U(l),
-
нижняя граница прогноза равна Y(n + l) + U(l).
Если построенная регрессионная модель адекватна и прогнозные оценки факторов
достаточно надежны, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать,
что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая
величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.
Пакет анализа - это надстройка, которая представляет
широкие возможности для проведения статистического анализа.
Установка средств Пакет анализа.
В стандартной конфигурации программы EXCEL вы не найдете средства
Пакет анализа. Даже если установить их с компакт-диска EXCEL'97 (или Office'97),
они не появятся в меню до тех пор, пока вы не установите их в качестве
надстройки Excel. Для этого выполните следующие действия:
1. Выберите команду Сервис=>Надстройки.
2. В диалоговом окне Надстройки установите флажок Пакет анализа.
3. Щелкните на кнопке ОК.
После этого в нижней части меню Сервис появится новая команда Анализ
данных. Эта команда предоставляет доступ к средствам анализа, которые есть в EXCEL.
Пример 2.2.1. Задача состоит в построении модели для предсказания
объема реализации одного из продуктов фирмы.
Объем реализации - это зависимая
переменная Y. В качестве независимых, объясняющих переменных
выбраны: время – Х1,
расходы на рекламу Х2, цена товара Х3, средняя цена
конкурентов X4, индекс
потребительских расходовX5.
1. Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы
коэффициентов парной корреляции
Статистические данные по всем переменным приведены в табл. 2.2.1. В этом примере n =
Таблица 2.2.1
Y |
XI |
XI |
X3 |
Х4 |
Х5 |
объем
реализации |
время |
реклама |
цена |
цена конкурента |
индекс
потребительских расходов |
126 |
|
4 |
15 |
17 |
100 |
137 |
1 |
4,8 |
14.8 |
17.3 |
98.4 |
148 |
2 |
3.8 |
15.2 |
16.8 |
101.2 |
191 |
3 |
8.7 |
15.5 |
16.2 |
103.5 |
274 |
4 |
8.2 |
15.5 |
16 |
104.1 |
370 |
5 |
9.7 |
16 |
18 |
107 |
432 |
6 |
14.7 |
18.1 |
20.2 |
107.4 |
445 |
7 |
18.7 |
13 |
15.8 |
108.5 |
367 |
8 |
19.8 |
15.8 |
18.2 |
108.3 |
367 |
9 |
10.6 |
16.9 |
16.8 |
109.2 |
321 |
10 |
8.6 |
16.3 |
17 |
110.1 |
307 |
11 |
6.5 |
16.1 |
18.3 |
110.7 |
331 |
12 |
12.6 |
15.4 |
16.4 |
110.3 |
345 |
13 |
6.5 |
15.7 |
16.2 |
111.8 |
364 |
14 |
5.8 |
16 |
17.7 |
112.3 |
384 |
15 |
5.7 |
15.1 |
16.2 |
112.9 |
Использование инструмента Корреляция. Для проведения
корреляционного анализа выполните следующие действия:
1) данные для корреляционного
анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек;
2) выберите команду Сервис
=>Анализ данных;
3) в диалоговом окне Анализ
данных выберите инструмент Корреляция (рис.
4.2.1). а затем щелкните на кнопке ОК;
4) в диалоговом окне
Корреляция в поле «Входной интервал» необходимо ввести диапазон ячеек,
содержащих исходные данные. Если выделены и заголовки столбцов, то установить
флажок «Метки в первой строке» (рис. 4.2.2);
5) выберите параметры вывода.
В данном примере - установите
переключатель «Новый рабочий лист»;
6) ОК.
В табл. 2.2.2 приведены промежуточные результаты при
вычислении коэффициента корреляции по формуле (2.1.1)
Таблица 2.2.2
t |
Y |
X2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
126 137 |
4 4.8 |
-180.813 -169.813 |
32693.16 28836.29 |
-5.29375 -4.49375 |
28.02379 20.19379 |
957.1762 763.0949 |
3 |
148 |
3.8 |
-158.813 |
25221.41 |
-5.49375 |
30.18129 |
872.4762 |
4 |
191 |
8.7 |
-115.813 |
13412.54 |
-0.59375 |
0.352539 |
68.76367 |
5 |
274 |
8.2 |
-32.8125 |
1076.66 |
-1.09375 |
1.196289 |
35.88867 |
6 |
370 |
9.7 |
63.1875 |
3992.66 |
0.40625 |
0.165039 |
25.66992 |
7 |
432 |
14.7 |
125.1875 |
15671.91 |
5.40625 |
29.22754 |
676.7949 |
8 |
445 |
18.7 |
138.1875 |
19095.79 |
9.40625 |
88.47754 |
1299.826 |
9 |
367 |
19.8 |
60.1875 |
3622.535 |
10.50625 |
110.3813 |
632.3449 |
10 |
367 |
10.6 |
60.1875 |
3622.535 |
1.30625 |
1.706289 |
78.61992 |
11 |
321 |
8.6 |
14.1875 |
201.2852 |
-0.69375 |
0.481289 |
-9.84258 |
12 |
307 |
6.5 |
0.1875 |
0.035156 |
-2.79375 |
7.805039 |
-0.52383 |
13 |
331 |
12.6 |
24.1875 |
585.0352 |
3.30625 |
10.93129 |
79.96992 |
14 |
345 |
6.5 |
38.1875 |
1458.285 |
-2.79375 |
7.805039 |
-106.686 |
15 |
364 |
5.8 |
57.1875 |
3270.41 |
-3.49375 |
12.20629 |
-199.799 |
16 |
384 |
5.7 |
77.1875 |
5957.91 |
-3.59375 |
12.91504 |
-277.393 |
Сумма |
4909 |
148.7 |
0 |
158718.4 |
0 |
362.0494 |
4896.381 |
Среднее
значение |
306.8125 |
9.29375 |
0 |
|
|
|
|
Таблица 2.2.3
|
Объем реализации |
Время |
Реклама |
Цена |
Цена конкурента |
Индекс потребительских расходов |
Столбец 1 |
Столбец 2 |
Столбец З |
Столбец 4 |
Столбец 5 |
Столбец 6 |
|
Объем реализации |
1 |
|
|
|
|
|
Время Реклама |
0.678 0.646 |
1 0.106 |
1 |
|
|
|
Цена |
0.233 |
0.174 |
-0.003 |
1 |
|
|
Цена конкурента |
0.226 |
-0.051 |
0.204 |
0.698 |
1 |
|
Индекс отребительских расходов |
0.816 |
0.960 |
0.273 |
0.235 |
0.030 |
1 |
Анализ матрицы коэффициентов
парной корреляции (табл. 2.2.3) показывает,
что зависимая переменная, т.е. объем реализации, имеет тесную связь с индексом
потребительских расходов (ryx5 = 0.816), с расходами на рекламу (ryx5=0.646) и со временем (ryx1 =0.678). Однако факторы X2;
и X5
тесно связаны между собой (ryx5= 0.96), что свидетельствует о
наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных
оставим в модели X5 - индекс потребительских расходов. В этом примере n=
2. Выбор вида модели и оценка
ее параметров
Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших
квадратов по формуле (2.1.6), с
использованием данных, приведенных в табл.
2.2.4.
Таблица 2.2.4
y |
X0 |
X1 |
X2 |
объем
реализации |
|
реклама |
индекс
потребительских расходов |
126 |
1 |
4 |
100 |
137 |
1 |
4.8 |
98.4 |
148 |
1 |
3.8 |
101.2 |
191 |
1 |
8.7 |
103.5 |
274 |
1 |
8.2 |
104.1 |
370 |
1 |
9.7 |
107 |
432 |
1 |
14.7 |
107.4 |
445 |
1 |
18.7 |
108.5 |
367 |
1 |
19.8 |
108.3 |
367 |
1 |
10.6 |
109.2 |
321 |
1 |
8.6 |
110.1 |
307 |
1 |
6.5 |
110.7 |
331 |
1 |
12.6 |
110.3 |
345 |
1 |
6.5 |
111.8 |
364 |
1 |
5.8 |
112.3 |
384 |
1 |
5.7 |
112.9 |
Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу
и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде:
Y= -1471.314 + 9.568Х1 + 15.754Х2.
Расчетные значения Y
определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов,
взятых для каждого момента времени t.
Применение инструмента Регрессия. Для проведения регрессионного анализа
выполните следующие действия:
1) выберите команду
Сервис ÞАнализ данных;
2) в диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК;
3) в диалоговом окне Регрессия в поле «Входной интервал Y» введите
адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле
«Входной интервал X» введите адреса
одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных;
4) если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в
первой строке;
5) выберите параметры вывода. В данном примере - установите переключатель «Новая рабочая книга»',
6) в поле «Остатки» поставьте
необходимые флажки;
7) ОК.
Таблица 2.2.5
Регрессионная
статистика |
|
Множественный
R R- квадрат Нормированный R-квадрат Стандартная ошибка Наблюдения |
0.927 0.859 0.837 41.473 16.000 |
Пояснения к табл. 2.2.5.
Регрессионная
статистика |
|||
№ |
Наименование в отчете EXCEL |
Принятые наименования |
Формула |
1 |
Множественный R |
Коэффициент множественной корреляции, индекс
корреляции |
|
2 |
R-квадрат |
Коэффициент детерминации, R2 |
|
3 |
Нормированный R-квадрат |
Скорректированный R2 |
|
4 |
Стандартная ошибка |
Стандартная ошибка оценки |
|
5 |
Наблюдения |
Количество наблюдений, n |
n |
Таблица 2.2.6
Дисперсионный
анализ |
||||
|
Df |
SS |
MS |
F |
Регрессия Остаток Итого |
2 13 15 |
136358.334 22360.104 158718.438 |
68179.167 1720.008 |
39.639 |
Пояснения к табл. 2.2.6.
|
Df- число степеней свободы |
SS - сумма квадратов |
MS |
F - критерий Фишера |
Регрессия |
k=2 |
|
|
|
Остаток |
n-k-1=l3 |
|
|
|
Итого |
n-1 =15 |
|
|
|
Таблица 2.2.7
|
Коэффициенты |
Стандартная
ошибка |
t-статистика |
Y-пересечение Реклама Индекс потребительских
расходов |
-1471.3143 9.5684 15,7529 |
• 259.7660 2.2659 2.4669 |
-5.6640 4.2227 6.3858 |
Во втором столбце табл. 2.2.7
содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, a2. В третьем столбце содержатся
стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии (2.1.12), а в четвертом -
г-статистика (2.1.11), используемая
для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу
и индекса потребительских расходов, полученное с помощью EXCEL,
как было указано ранее, имеет вид:
Y =-1471.314+9.568Х1.+15.754Х2.
Таблица 2.2.8
ВЫВОД ОСТАТКА |
||||
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
||
1 |
142.247 |
-16.247 |
||
2 |
124.697 |
12.303 |
||
3 |
159.237 |
-11.237 |
||
4 |
242.353 |
-51.353 |
||
5 |
247.021 |
26.979 |
||
6 |
307.057 |
62.943 |
||
7 |
361.200 |
70.800 |
||
8 |
416.802 |
28.198 |
||
9 |
424.177 |
-57.177 |
||
10 |
350.325 |
16.675 |
||
11 |
345.365 |
-24.365 |
||
12 |
334.724 |
-27.724 |
||
13 |
386.790 |
-55.790 |
||
14 |
352.052 |
-7.052 |
||
15 |
353.230 |
10.770 |
||
16 |
361.725 |
22.275 |
||