Лекция 9.

Несвободное движение. Принцип освобождаемости. Определение несвободного движения. Связи. Реакция связей.

Уравнение динамики с реакциями связей.

Несвободное движение

При рассмотрении основных задач динамики точки мы исходили из

предположения, что на движение точки не наложено ни каких ограничений, т.е все ее три координаты могут меняться любым образом. Надлежащим выборам закона изменения силы F и начальных условий можно заставить материальную точку двигаться по любой траектории. Примером может служить движение управляемого космического корабля. В подобных случаях материальная точка называется свободным, а ее движение- свободным движением.

В других случаях на движения могут быть наложены те или иные ограничения. Рассмотрим, например, материальную точку, находящуюся на конце которого с помощью шарика закреплен в неподвижной точке. При любых силах, приложенных к материальной точке, она совершает движение по поверхности сферы, радиус которой равен длине стержня. Координата точки не будут независимы, так как они должны удовлетворять уравнению серы:

𝑥² + 𝑦² + 𝑧² − 𝑙² = 0 (1).

Из этого уравнения одна из координат, например x , может быть выражена через остальные две:

𝑥 = ±√𝑙² − 𝑦² − 𝑧² (2).

Скорость точки всегда располагаются в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке, где находится в данный момент материальной точки.

Будем называть материальную точку несвободным, если вследствие тех или иных ограничений она при действии на нее любых сил совершает движение по строго фиксированной линии, поверхности или находится все время в строго фиксированной части пространства. Движение такой точки называется несвободным движением.

Ограничения, благодаря которым материальная точка вынуждена совершать несвободное движение, называются связями.

При изучении несвободного движения пользуются также принципом освобождаемости, которой заключаются в следующем: при рассмотрении несвободного движения следует действие связей на материальную точку заменить реакциями этих связей и рассматривать материальную точку как свободную, но находящуюся под действием как сил активных, так и реакций связей. Если обозначить через ….равнодействующую всех сил, приложенных к точке, а через R – равнодействующую всех реакций связей, то основное уравнение динамики имеет вид:

𝑚𝑊̅̅̅→ = 𝐹→ + 𝑅̅→ (3)

В проекциях на оси системы координат Oxyz, получим:

𝑚𝑥¨ = 𝐹𝑥 + 𝑅𝑥; 𝑚𝑦¨ = 𝐹𝑦 + 𝑅𝑦; 𝑚𝑧¨ = 𝐹𝑧 + 𝑅𝑧

Эти уравнения позволяют решать задачи, когда заданы движение и активные силы и требуется найти(определить) реакции.

Уравнение связей. Классификация связей.

Уравнения линии или поверхности , по которым совершает движение точка, называется уравнениями связями. Если точка принужденно остаться в некоторой области пространства, то связь аналитически задается в виде неравенств.

Если материальная точка движется по линии, то уравнения связи имеют вид

𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 , 𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 (4)

где 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 и 𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 - уравнения тех поверхностей, линией пересечения которых является траектория точки.

В случае плоского движения по заданной кривой уравнение связи можно записать в форме f(x,y). Например, в криволинейно-ползуном механизме точка A шастуна движется по окрестности радиуса, равного длине кривой. Уравнение связи получает вид

𝑥² + 𝑦² − 𝑟² = 0

𝐴 𝐴

Ползун B движется по прямой, и для него уравнение связи имеет вид

𝑦𝐵 = 0. Неизменность расстояния A и B выражается уравнением

𝐴

(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)² + 𝑦² = 𝑙²

При движении точки по поверхности уравнением связи является уравнение этой поверхности

f(x,y,z)=0 (5).

Уравнение сферы (1) в рассмотренном выше примере и является уравнением связи. Если в этом примере в место стержня взята гибкая нерастяжимая нить, то точка получит возможность совершать движение не только по поверхности, но и внутри сферы радиуса равного длине нити. Вместо уравнения связи в этом случае аналитически задается неравенством:

𝑥² + 𝑦² + 𝑧² − 𝑙² ≤ 0 (6).

Следовательно , если какая-либо поверхность, определяемая уравнением f(x,y,z)=0, ограничивает область движения точки, то уравнения связи следует взять одно из неравенств

f(x,y,z)≤0 или f(x,y,z)≥0 (7).

Перейдем к классификации связей. Если связь со временем не меняется, т.е время t явно в уравнении связи не входит, то связь называется стационарной. Например, связь удовлетворяющие условиям (4), (6) и (7).

Если же связь изменяется во времени заданным образом, то уравнение связи содержит явно t . такие связи называются нестационарными.

Согласно, в общем случае при изменении связей во времени они могут быть заданы следующим образом: при движении точки по поверхности

f(x,y,z,t)=0 (8);

при движении точки по кривой

𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 0 , 𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 0 (9);

при движении точки в ограниченной области

f(x,y,z,t)≤0 или f(x,y,z,t)≥0 (10).

Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет вид равенства, как, уравнение (4). Это означает, что при любых условиях точка движется по

заданной поверхности или кривой. Связи, которые задаются с помощью неравенств, в виде (7) или (10), называется неудерживающими.

Для точки идеальными связями будут называть связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих. При движении по поверхности или по кривой реакции связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющую. Касательная составляющая реакция представляет собой силу трения. Очевидно, что чем более гладкая будет поверхность или кривая, меньше будет касательная реакция. Если поверхность и кривая абсолютно гладкие, то реакция будет направлена по нормали.