Лекция 8.

Общие теоремы движения точки. Теорема об изменении количества движения. Закон сохранения и изменения момента импульса.

Задачи о движении одной точки и двух точек имеет общее решение в квадратурах при предположениях о силе взаимодействия между точками.

Решение задач трех и более точек встречаются трудности. В связи с этим общие теоремы справедливы при любом числе материальных точек приобретают громадное значение. Такими теоремами является законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии. Рассмотрим эти задачи для свободных систем.

Интегралы движения.

Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии приводят к так называемым интегралом движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скорости точек, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями.

Интеграл движения определяется соотношением вида

(1)

между радиусами-векторами и скоростями точек систем. Функция f сохраняет постоянное значение при любых начальных условиях, а значение C фиксируется, если начальные условия заданы, т.е

, где

Интегралы движения, содержащие скорости точек, называются первыми интегралами. Вторыми интегралами называются такие функции времени, координат точек и произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения .

P.S. Если известны 6N независимых интегралы движения

(1)

то уравнения движения , i=1,2,..,N механической системы можно считать проинтегрированными, поскольку (1) определяют радиусы-векторы и скорости точек системы как функции времени 6N произвольных постоянных. Соответственно значение S независимых первых интегралов дает возможность понизить порядок системы уравнений на S.

Закон изменения импульса материальной точки совпадает со вторым законом Ньютона. Импульсом точки P называется произведение массы точки не на ее скорость ( часто эту величину называют количеством движения)

уравнение (1)

В большей части случаев массы материальной точки является постоянной, и поэтому уравнение (1) принимает вид:

(2), где

Теорема о сохранении количества движения материальной точки. Если сила равна нулю, , т.е количество движения материальной точки сохраняется неизменным.

Если проекция силы на некоторую неподвижную ось в любой момент времени равны нулю, то проекция импульса на ту же ось сохраняется.

Например: Если ,то ; ; ; ;

Под моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки относительно центра O мы будем понимать вектор

(1)

где r-радиус-вектор направленный к материальной точке из центра O.

Моментом силы F относительно точки O ( или вращающим моментом этой силы) мы будем называть вектор

(2)

Закон изменения момента импульса точки является следствием второго закона Ньютона. Действительно, умножая

(3)

вектор слева на радиус-вектор точки , получим

(4)

Правая часть уравнения (3) называется моментом силы

Левая часть (используя определение импульса и очевидное равенство Можно представить в виде:

(3)

где - момент импульса точки.

В результате найдем, что производная момента импульса материальной точки по времени равны моменту силы действующей на эту точку,

(5)