Лекция 5.

Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку. Кинематические формулы Эйлера.

Сложение скоростей точки совершающей сложное движение.

Предположим, что точка M движется по отношению к системе координат x,y,z, которая жестко связанно с телом перемещающимся поступательно по отношению к неподвижной системе координатO,x,y,z.

- радиус-вектор начала подвижной системы координат

- радиус-вектор, определяющей положение точки Mв подвижной системы координат.

В этом равенстве-есть скорость точки относительной системы координат, которая называется скоростью точки в сложном движении абсолютной скоростью и обозначается-скорость точки A. Так как система координатx,y,z-движется поступательно, то это одновременно будет скорость той точки тела, с которой в данный момент совпадает с движущейся точки M. Эта скорость называется переносной-относительной скоростью.

,

Полученное равенство выражает теорему о сложении скоростей: скорость точки тела в сложном движении равна сумме переносной и относительной скоростей

Пара вращений

Рассмотрим сложное движение, состоящее из двух вращений относительно параллельных осей и . Пусть угловые скорости относительного - и переносного - движения равны по модулю и противоположны по направлению, т.е (1)

Произвольно выберем точку М твердого тела относительно неподвижной системы отчета. В нашем случае: (2)

(3)

(4)

Подставим в уравнение (2) (3) и (4), получим:

(5)

(6)

Из уравнения (5) видно, что произвольно взятая точка М не зависит от , и , поэтому из (5) вытекает, что скорости всех точек тела одинаковы. Этим свойством обладают только поступательное движение. Мы переписали с учетом (1) и из (5) получили (6). Векторное произведение называется моментом пары вращения. Таким образом тело участвует в пара вращательном движении постепенно со скоростью равной моменту пара вращения. Легко увидеть, что совокупность nвращений эквивалентно одной паре

Разложение ускорения на относительное, переносное и кориолисово.

Составим выражение полной производной по времени от абсолютной скорости v

Продифференцируем по времени

(1)

Рассмотрим относительно производные относительной и переносной скорости точки. Относительная скорость естественно заданны разложением по ортам подвижной системе отсчета, поэтому

(2)

Где через - обозначено относительное ускорение точки

(3)

Переносная скорость точки определенна формулой продифференцируя, получим:

(4)

Так как (5)

И согласно (6)

Первые три члена представляют собой ускорение точки пространства, свойственного системы отсчета O,ξ,η,ζ, в которой находятся точка M в данный момент времени: поэтому их называют переносным ускорением точки M. Складывая (2) и (6) получим:

(7)

Причем (8)

где - ускорение полюса, а

(9)

Таким образом, ускорение точки складываются из трех членов относительного , переносного и данного ускорения определенного формулой (9) и направленного кориолисовым.

Кориолисово ускорение, как векторное произведение аксиального вектора на полярный , есть полярный (действительный) вектор , если , т.е. если подвижная система отсчета движется поступательно, то так же если , т.е. если точка M жестко связана с системой O,ξ,η,ζ. , если и параллельны.

Кориолисово ускорение меняет направление на обратное при изменение на обратное направления относительной скорости.