Лекция 4.

Простейшие движения твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Преобразование простейших движений твердого тела.

Бесконечно малые повороты. Представление их векторами.

Пусть твердое тело движется, имея одну неподвижную точку. Поместим в нее полюс O. Рассмотрим элементарные перемещения точки тела при бесконечно малом повороте вокруг некоторой оси OK.

Точки, лежащие на оси поворота, очевидно не смещаются. Точка A, определенная радиусом-вектора , проведенным к ней из полюса, переместит на . Это перемещение можно представить в виде векторного произведения.

(1)

где - определенно как отрезок, величина которого равны элементарному углу поворота , а направление взято по оси поворота OK в ту сторону, которая дает положение направление отсчета угла , т.е. в правой системе координат, если смотреть из конца отрезка на плоскость отсчета- против часовой стрелки.

После элементарного поворота A займет положение A’

(2)

Как угла окрестности радиуса , -угол и .

Если раскрыть векторное произведение (1), то получим выражение (2)

Ускорение точке твердого тела. Разложение его на поступательное, вращательное и осестремительное ускорения.

Ускорение некоторой точки произвольно движущегося твердого тела получаем, дифференцируя по времени выражение для скорости

(1),

где -скорость рассматриваемой точки тела, -скорость полюса.

(2).

Подставляя (2) в (1), получим:

(3)

Таким образом, ускорение некоторой точки твердого тела слагается из трех частей: -ускорение полюса, которое называют поступательным ускорением.

-вращательным ускорением и (4)- называемого осестремительным ускорением.

Выражение (4) рассмотрим подробнее, выясним смысл самого термина. Из векторной алгебры для двойного векторного применения трех векторов:

(5)

В нашем случае имеем:

(6),

где по определению (7)..

Вектор является разностью двух векторов из которых перемещение -имеет модуль, равный проекции вектора на ось вращения и направления вдоль оси.

Модуль равен расстоянию точки твердого тела от мгновенной оси вращения: направлен по перпендикуляру к оси. Поэтому согласно (6) осестремительное ускорение равно по величине произведению расстояния точки от оси на квадрат угловой скорости и направлен от точки перпендикуляру к оси.

Разложение произвольного перемещения твердого тела на поступательное перемещение и поворот.

Рассмотрим произвольное осеконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр перемещения переходит из начального положения в конечное при неизменной ориентации осей подвижной системы координат. Второй-бесконечно малый поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело переходит в конечное положение.

Обозначим радиус-вектор произвольной точкой твердого тела в подвижной системе координат посредством , а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе - посредством . Тогда бесконечно малое смещение dr’ точки P имеется из перемещения dR вместо с центром инерции и перемещается относительно поступательного при повороте на бесконечно малый угол .

где - направление вектора перпендикулярно проходящей через и .Разделив это равенство на dt , и вводя скорости , , получим соотношение между ними:

V- есть скорость центра инерции или скорости поступательного движения, - угловая скорость.Его направление совпадает с направлением оси вращения твердого тела ( как и направление ). Таким образом, скорость любой точки тела может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения.

Обратно. Введем вектор бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота.

Найдем приращение радиуса-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системе линейное перемещение конца радиуса-вектора связано с углом перемещения соотношением

Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через и . Поэтому ясно, что

При повороте системы меняется направление не только радиус-вектор, но и скоростей всех частиц, причем все векторы переобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат

Разложение скорости точки на переносную и относительную.

Движение точки будем рассматривать одновременно в двух системах отсчета. Движение наблюдаемое из неподвижной системы Oxyz будем называть абсолютным, а наблюдаемое из движущейся системы O,ξ,η,ζ -относительной. Тогда -скорость полюса, -является известными функциями времени.

Положение рассматриваемой точки M относительно неподвижной системы определено радиусом-вектором , а относительно подвижной- векторном , причем

(1)

Разложим вектор по ортам подвижной системы координат:

(2)

Выполним дифференцирование (1) по времени, представив (2) в него и учитывая переменность ортов: при этом получим абсолютную скорость точки :

(3)

Подставляя сюда выражение переменных от ортов , , : Запишем

(4),

где (5)

и

(6)

Вектор -называется относительной скоростью точки M , он равен нулю, когда ,т.е. когда точка неподвижна относительно системы отсчета O,ξ,η,ζ. Вектор -называются переносной скоростью точки M. -есть скорость той точки подвижного пространства, относительного с системой отсчета O,ξ,η,ζ , в которой рассматриваемая точка M находится в указанный момент времени.

Таким образом абсолютная скорость точки M равна сумме ее переносной и относительной скоростей.

Относительное дифференцирование вектора по времени.

Любой переносной вектор, который является функцией времени, может быть разложен по ортам неподвижной и подвижной систем отсчета. В подвижной системе отсчета удобно ввести символ относительного дифференцирования по времени. Пусть переменный вектор задан по ортам движущейся системы

(1)

Относительным дифференциалом вектора называется дифференциальное разложение при фиксированных ортах. Обозначим относительное через : имеем по определению

(2)

Из этого определения видно, что относительная скорость определяется формулой : есть не что иное, как относительная производная от радиуса-вектора :

(3)

Относительная скорость направлена по касательной к относительной траектории. Если вместо взять , то по определению относительная производная от ,

(4)

Установим связь между символами относительного дифференцирования и символом полного, или абсолютного дифференцирования . Полная производная от вектора , заданным разложением (1) должна браться с учетом переменности ортов

(5)

Подставляя сюда выражение для производных от ортов , получим

(6)

Заметим, что при дифференцировании скалярной величины различие между символами и нет! Относительное дифференцирование применяется лишь в том, случае, когда задаем вектор разложения по ортам подвижной системе отсчета.