Лекция 3.

Способы задания движения. Переход от уравнения движения в декартовых координатах к естественному уравнению движения.

Движение точки по отношению к выбранной системе отсчета считается заданным , если известен способ , при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Следовательно , задать движение точки значит это значит указать способ , позволяющий в любой момент времени определить её положение по отношению к выбранной системе отсчета.

1.Векторный способ.

Положение точки в пространстве будет вполне определенно , если её радиус-вектор , проводимый из какого-либо заданного центра , известен как функция времени, т.е. = Следует иметь иметь в виду , что задать вектор , как функцию времени , значит уметь находить её модуль и направление в любой момент времени. Годографом какого-либо вектора называют кривую , которую вычерчивает конец этого вектора при изменении его аргумента. Например: Годографом радиус-вектора определяющего положение точки , будет траектория точки.

2.Координатный способ.

Способ задания движения , заключающийся в задании координат точки как известных функций времени , называется координатным способом задания движения и требует выбора конкретной системы координат. При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат указанный способ заключается в задании координат точки как известных функций времени. , Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты В цилиндрических координатах (рис. 1) положение точки определяется радиусом углом (азимутом) и аппликатой . Движение будет задано , если будут известными функциями времени

В сферических координатах (рис.2) положение точки определяется полярным радиусом углом и углом . Движение будет задано , если известные функции времени.

Формулы , связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми , соответственно будут , , При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты (рис. 3)

Уравнение (1) движения точки представляют одновременно и уравнением траектории в параметрической форме , где параметром является время t. Если требуется определить уравнение траектории в координатной форме , то нужно исключить из этих уравнений время t.

3.Естественный способ.

При естественном способе задания движения указываются траектория точки и закон её движения по этой траектории.

Пусть точка движется по отношению к выбранной системе отсчета по заданной траектории , определяемый уравнениями:

Пусть какая-либо фиксированная точка на траектории , мы определим положение точки в любой момент времени , если будем знать , как изменяется дуга (см. рис. 4) со временем Эта зависимость называется законом движения. Кривая , построенная на плоскости выражающая зависимость называется графиком движения. Если движение происходит в сторону возрастания дуги , то дифференциал дуги будет положительным , если движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет отрицательным. Отметим , что путь проходимый точкой всегда будет возрастать и , следовательно , положителен , т.е. . Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны. Пусть движение задано координатным способом в виде (1). Очевидно , что при этом проекция радиуса-вектора (рис. 5) на оси координат равны координатам точки и , можно записать где единичные векторы осей .

Модуль найдется по формуле а направление определяется направляющими косинусами Рассмотрим переход от координатного способа к естественному. Пусть движение задано уравнением (1). Исключая из этих уравнений время , получим уравнение траектории (4).