Лекция 13.

Уравнения Лагранжа. Число уравнений Лагранжа 2-го рода. Обобщенные диссипативные силы.

Уравнение Лагранжа первого рода.

Рассмотрим систему материальных точек, подчиненную k голономным идеальным связям. Дифференциальные уравнения движения точек материальной системы в координатной форме, в проекциях на оси декартовой системы координат имеют вид

где массы точки, - проекции равнодействующей активных сил, приложенных к точке, - проекции равнодействующей реакций связей, действующих на i-ю точку.

Если активные силы заданы, то система уравнений представляет собой систему 3n уравнений с 6n неизвестными 3n-координат и 3n -проекций реакций связей.

Присоединяя к этим уравнениям k уравнений связи

будем иметь уже 3n+k уравнений. Для получения остальных 3n-k уравнений следует учесть характер связей.

Так как связи идеальные, то проекции реакций связей в соответствии с (8) запишутся в виде

Подставляя эти выражения в уравнения (1), получим

Присоединяя к этим 3n уравнениям к уравнениям связей (2) будем иметь 2n+k уравнений относительно 3n+k неизвестных координат и множителей Лагранжа.

После решения этой системы уравнений проекции реакций могут быть найдены по формулам (3).

Уравнения (4) называются уравнениями Лагранжа первого рода. Следует отметить, что практическое использование уравнений (4) в системах с большим количеством точек весьма затруднительно из-за большого числа уравнений.

Уравнения движения в обобщенных координатах (Уравнение Лагранжа второго рода)

Уравнения движения несвободной голономной системы в обобщенных координатах мы получим из общего уравнения динамики (6)

Выбрав обобщенные координаты , следует далее выразить, декартовы координаты точек системы через эти обобщенные координаты, т. е. получить функции

Отсюда получается эквивалентная им зависимость.

В соответствии с (9) можно записать

Подставляя это выражение дляв общее уравнение динамики (6), получим

Так как вариации обобщенных координат могут выбираться независимо друг от друга, то полученное равенство будет выполняться только тогда, когда коэффициенты будут равны нулю, т. е.

Вспомнив, что обобщенные силы выражаются формулой

перепишем выражение (10) в виде

Выражение стоящее под знаком суммы, преобразуем следующим образом:

На основании (9) мы имеем

Так как частные производные

являются функциями обобщенных координат и времени, то дифференцируя (13) по, найдем, что

Продифференцировав выражение (13) пополучим

С другой стороны

Подставляя соотношения (14) и (15) в выражение (12) будем иметь

Используя полученные выражения (16), перепишем соотношение (11) в виде

Но так как

есть кинетическая энергия материальной системы, то

Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода.Производные от обобщенных координат называется обобщенными скоростями. Уравнением Лагранжа второго рода не содержит реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования.Для составления левых частей этих уравнений следует выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости.

Обобщенные силы, стоящие в правых частях этих уравнений, могут быть найдены или непосредственно по формулам или как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для возможной работы.

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему S обычных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные координаты как коэффициенты времени и 2S произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (8) можно получить декартовые координаты в зависимости от времени t и 2S произвольных постоянных интегрирования.

Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил.

Обобщенные силы называются потенциальными если существует функция

частными производными от которой по обобщенным координатам, взятыми с обратным знаком, являются эти силы, т. е.

Функция (1) называется потенциальной энергией. Используя формулу (2), перепишем уравнения Лагранжа 2-го рода в виде.

Введем в рассмотрение функцию

которая называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Так как потенциальная энергия от обобщенных скоростей не зависит, то и, следовательно, уравнения Лагранжа могут быть записаны в виде.

Из структуры уравнений (4) видно, что если вместо функции Lвыбрать другую функцию где - любая функция времени, то функция тоже будет удовлетворять уравнениями (4). То же самое будет, если вместо L взять где C - любое постоянное число, кроме нуля. Существуют и другие производные относительно, которых уравнения Лагранжа инвариантны.