Лекция 12.

Обобщенные координаты и импульсы.

Основные понятия аналитической механики.

Если каждая точка материальной системы может занять любое положение в пространстве и иметь любую скорость, то такую материальную систему называют свободной. Например: Солнечная система. Между всеми планетами и Солнцем существует силы Ньютоновского тяготения, положения же и скорости самих планет и Солнца ничем не ограничены.

Если вследствие каких-либо ограничений точки и тела, составляющие материальную систему, не могут занять произвольного положения в пространстве и иметь произвольные скорости, то такая материальная система называется несвободной.

Ограничения, которые не позволяют точкам материальной системы занимать произвольные положения в пространстве и иметь произвольные скорости, называют связями.

Связь полагает ограничения на изменение координат и скоростей точки. Аналитически эти ограничения записываются в виде уравнений или неравенств.

Пусть материальная система состоит из n точек, а декартовы координаты.

Если на материальную систему будет наложена связь, аналитически это можно записать в виде

где проекции скорости, t- время.

В случае знака равенства в выражении (1) связь называется удерживающей, если стоит знак неравенства, то -неудерживающей.

Если 2 материальные точки, положение которых определяется соответственно координатами связаны между собой жестким стержнем длины l. В этом случае связь является удерживающей и ее уравнения имеют вид

Если заменить гибкой нерастяжимой нитью, то точки могут сближаться, но не удаляться друг от друга на расстояние больше l , не смогут. В этом случае связь неудерживающая.

Если уравнение удерживающей связи

содержит явно время t, то связь называют реономной или нестационарной.

Если же уравнение связи не содержит времени t, т. е. уравнение имеет вид

то связь называют склерономной или стационарной.

Связь, накладывающая ограничения только на координаты точек системы, т. е. cвязь уравнение которой не содержит производных от координат

называется геометрической.

Связь, же, уравнение которой имеет вид (2), называется кинематической. Если уравнение (2) кинематической связи путем интегрирования нельзя привести к виду (3) не содержащему производных, то эта связь называется неголономной или неинтегрируемой. Если уравнение (2) можно путем интегрирования привести к виду (3), то связь будет голономной.

Материальная система на которую наложены голономные связи называется голономной.

Числом степеней свободы голономной материальной системы называется число независимых параметров, полностью определяющих ее положение (конфигурацию), т. е. Определяющих положение каждой точки системы.

Пусть на материальную систему, состоящую из n точек, наложено k связей вида (4)

Это значит, что не все декартовы координаты точек системы независимы друг от друга. На 3n координат наложено к не зависимых уравнений связи. Решая эти уравнения относительно каких-либо k координат мы выразим эти координаты через остальные 3k-n. Эти 3k-n координат определяют положение точек системы. Таким образом, число степеней свободы будет равно

S = 3k-n (5)

Обобщенные координаты. Обобщенные силы.

Было установлено, что положение материальной системы подчиненной k голономным связям, определяется s=3n-k независимыми декартовыми координатами. Однако во многих случаях использование декартовых координат приводит к громоздким выкладкам. Поэтому для определения положения материальной системы можно использовать другие независимые друг от друга параметры . Эти параметры могут иметь различную размерность - это могут быть углы, длины дуг, площади и т. д. Все 3n декартовых координат можно выразить через введенные параметры.

Эти функции обращают в тождество уравнения связей

Будем предполагать, что любое положение материальной системы совместимое со связями, однозначно определяются при помощи функции (1) некоторыми значениями параметров . Эти независимые между собой параметры называются обобщенными координатами.

Уравнения (1) могут быть записаны в векторной форме

при наличии стационарных связей функции (1) можно выбрать так, чтобы они не содержали явно времени t т. е. имели вид

При этом радиус-векторы точек системы также будут функциями только обобщенных координат

Пример

Положение сферического маятника длины можно определить двумя углами

Уравнения (3) в этом случае имеют вид

Дифференциалы от функции (1) вычисленные в предположении, что время t фиксировано, имеют вид

Найдем дифференциалы при фиксированном t от точек, которые из уравнений связей после подстановки в них функций(1).

Полученные уравнения совпадают с уравнениями вертикальных перемещений точек материальной системы. Следовательно дифференциалы совпадают с вариациями координат.

Для стационарной связи, точки и для нестационарной вариации координат будем вычислять по формулам

Здесь - называются вариациями обобщенных координат.

В соответствии с выражениями (2) и (3) для виртуального перемещения будем иметь

Подставляя соотношения (4) в выражение для виртуальной работы получим

Внося под знак второй суммы и меняя порядок суммирования, будем иметь

Суммы

называются обобщенными силами. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила. Итак

oбобщенными силами называются коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы.

Принцип наименьшего действия

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принцип Гамильтона).

Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией

Причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в момент времени и система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат и . Тогда между этими положениями система двигается таким образом, чтобы интеграл

имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (1) действием.

Принцип Лагранжа содержит только q и является выражением указанного выше факта, что механическое состояние системы полностью определяется заданием координат и скоростей.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении минимума интеграла.

Для упрощения записи формул предположим, что сама система обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть определена всего одна функция q(t).

Пусть q=q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую функцию вида

q(t) + δq(t) (2)

где δq(t) функция малая во всем интервале времени до (ее называют вариацией функции) поскольку при t= и t=все сравниваемые функции (2) должны принимать одни и те же значения и ,то должно быть

δδ

Изменение S при замене q нa q+δq дается разности

Разложение этой разности по степеням и начинается с членов 1-порядка. Необходимым условием минимальности S является обращение в нуль совокупности этих членов: ее называют 1-й вариацией интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде

проинтегрировав 2-й степени по частям, получим:

Но в силу условий (3) 1-й член исчезает.

Остается интеграл, который должен быть равен нулю при произвольных значениях δq. Это возможно только, в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Таким образом, мы получим уравнений

При наличии нескольких значений степеней свободы в принципе наименьшего действия должны независимо варьироваться S различных функций .Очевидно, мы получим тогда S уравнений вида

Эти искомые дифференциальные уравнения называются в механике уравнениями Лагранжа. Если функция Лагранжа данной механической системы известно, то уравнения (7) устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т. е. представляют собой уравнения движения. С математической точки зрения уравнения (7) составляют системы S уравнений второго порядка для S неизвестных функций. Общее решение такой системы содержит 2S произвольных постоянных. Для определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий.

Если движение описывается обобщенными координатами, то производные лагранжевой функции по обобщенным скоростями

называется обобщенным импульсом, а производные

называются обобщенными силами.

В этих обозначениях уравнения Лагранжа имею вид