Лекция 11.

Общее уравнение динамики. Математический маятник. Уравнение Даламбера. Естественное уравнение движения.

При изучении несвободного движения материальной точки по неподвижной кривой иногда удобно использовать уравнение(1) в проекциях на оси естественного трехгранника. Эти уравнения имеют вид

; , (2).

Подставляя сюда проекции ускорения

, , (3)

Получим

, , (4).

Уравнения (4) называются естественными уравнениями движения. Из реакции определяется статически через бинормальную составляющую активной () силы и от закона движения точки не зависит(от первого уравнения из (4)).

При заданных активных силах и известных уравнений связи уравнения (4) позволяют определить закон движения точки и реакции связей. Заметим, что между проекциями реакцииобычно существует простая связь.

При движении точки по широховатой кривой проекция представляет собой силу трения скольжения. Модуль силы трения скольжения равен

(5),

гдеf-коэффициент трения скольжения.

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости, согласно,

(6).

Если движение происходит по идеально гладкой кривой, тои естественные уравнения движения принимают вид:

, , , (7).

Отметим, что в этом случае первое уравнение служит для определения закона движения, а второе и третье для определения реакции связи.

При движении точки по плоской, неподвижной широховатой кривой уравнение (4) запишется в виде:

, (8).

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой кривой окружности, расположенной в вертикальной плоскости

, ; ; ;

,

При этом учтено, что реакция направлена вдоль нити, и согласно,

- уравнение служит для определения закона движения маятника,

- для определения реакции.

Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера).

Наряду с рассмотренными методами изучения несвободного движения точки удобным для решения первой задачи динамики несвободной точки является метод кинетостатики. Особенно удобен этот способ, когда требуется определить реакцию связи при заданных законах движения точки и активных силах. Содержание этого уравнения в виде

(1).

Введя обозначение (2) получим

(3).

Вектор ,равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения, называется силой инерции. Равенство (3) представляет собой уравнение движения материальной точки, записанное в форме условия равновесия сил. В этом и заключается существо метода кинетостатики.

На основании уравнения (3) можно утверждать, что в каждый момент движения сумма активной силы, реакции связей и силы инерции равны нулю. При этом следует иметь в виду, что материальная точка приложена только силы и ,т.е активная сила и реакция.

Сила же инерции к точке не проложена. Поэтому на уравнение (3) нельзя смотреть как на условие равновесия активной силы, реакции и силы инерции.

Метод кинетостатики является лишь формальным приемом сведения уравнения динамики к уравнению статики, однако при решении практических задач такой прием может обладать рядом достоинств. Реакция связи в соответствии с уравнением (3) равен