Лекция 1.

Движение точки. Скорость точки. Траектории и уравнения движения точки. Скорость точки в цилиндрических и сферических системах координат.

Теоретическая механика - раздел физики, в котором изучается механическое движение материальных тел, т. е. изменение с течением времени положения их относительно друг друга.

Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство в, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» Евклидово трехмерное пространство.

Вектор проведенный от точки 1 к точке 2, равен

, (1)

а расстояние между этими точками, т. е. равно модулю вектора , т. е.

(2)

Пространства, в которых расстояния между любимы двумя точками определяются формулой (2), называются Евклидовыми.

Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тел отсчета (тела, относительно которого изучаются движения других точек) и связанных с ними систем координатных осей и часов.

В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета

( абсолютное время).

Теоретическая механика построена на законах И.Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий из этих законов, а так же многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета.

В механике постулируется наличие хотя бы одной точкой системы (инерциальные системы отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности системы отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким неподвижным звездам, является инерциальной сиcтемой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной системой отсчета). В дальнейшем покажем, что если имеется хотя бы 1 инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество.

В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль . Абстракция приводит к важному понятию теоретической механики понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами какую имеет тело .

Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело , которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел.

Теоретическая механика является одним из важнейших курсов, изучаемых в высшей школе : ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других предметов при решении самых разнообразных и сложных технических задач. Все технические расчеты при постройке различных сооружений, пр проектировании машин, при изучении полотов различных управляемых и неуправляемых аппаратов и др основаны на законах теоретической механики.

Классическая механика, является частным случаем релятивистской механики, не теряет своего значения, ибо ее выводы при скоростях движения достаточно малых по сравнению со скоростью света, с большой точностью удовлетворяют требованиям многих отраслей современной техники. Теоретическая механика обычно делится на 3 раздела:

-статистика

-кинематика

-динамика

В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия и, а так же определяются возможные положения равновесия.

В кинематике движение тел рассматриваются чисто с геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий между телами.

В динамике движения тел изучаются в связи с силовыми взаимодействиями между телами.

Более подробно рассмотрим в соответствующих разделах.

Точка M движется относительно системы x, y, z. Непрерывная последовательность таких точек среды называется траекторией точки M. Формулы (1) можно рассматривать как параметрическое уравнений траектории. Исключая параметр время, мы можем записать уравнение траектории в виде

(2)

Рассматривая радиус-вектор точки M как векторную функцию времени, введем понятия скорости и ускорения точки в некоторый момент времени.

Пусть М и — положения точки в момент времени t и t+∆t где ∆t - есть приращение времени .Средняя за время ∆t скорость точки M равна .

Скорость точки в момент времени t найдем, переходя к пределу при ∆t, стремящемся к 0.

;

Вектор напрвлен по касательной к траектории точки. Направление скорости определяют направляющими косинусами

Очевидно, что

; (3)

Следовательно

(4)

Кроме того

(5)

Точно так же

; (6)

; (7)

(8)

Основные понятия механики. Пространство и время.

При описании движения всегда необходимо брать некоторое тело в качестве тела отсчета и рассматривать движение относительно этого тела. Например, движение тела вблизи Земли мы наблюдаем как движение относительно Земной поверхности. Для того чтобы описать относительность движения, принято говорить о произвольно выбранном нами теле, например, о поверхности Земли как о теле отсчета.

Всякое движение или перемещение тела как последовательное изменение его положения в механике совершается в пространстве и во времени. Всякое движение рассматриваем относительно некоторых неподвижных и подвижных тел. Пространство и время неотделимы от движения материальных тел, они являются формой существования материальных тел. В курсе теоретической механики пространство трехмерное, однородное, изотропное и непрерывное. Время считается универсальным для всех точек пространства, формально не зависящим от движения материального тела.

В классической механике пространство и время – абсолютные понятия. Для удобства рассмотрения движения тел вводим систему координат или систему отсчета – систему координат, снабженную “часами” для определения моментов времени. Пространство и время являются основными понятиями механики. Эти понятия являются отображением объективной реальности.

Положение тела определяется тройкой вещественных чисел (координат) и вводится единица длины – см., равная 0,01 нормального метра (эталона длины). Длины и расстояния можно измерять просто откладыванием линейки.

Для определения моментов времени, соответствующих определенным положениям тел в пространстве, обычно выбирается единица времени – секунда, равная 1/ 86400 части средних за год солнечных суток.

В классической механике Галилея и Ньютона длина и промежуток времени между событиями в разных системах отсчета, соответственно, одинаковы во всех системах координат.

Как было отмечено выше, движение тел совершается в пространстве и во времени, и обычно это движение рассматривается относительно гелиоцентрической системы координат, связанной с солнечной системой. Начало и суть ее в том, что систему координат поместили в центр инерции солнечной системы, а три ее взаимно перпендикулярные пространственные оси направили в три так называемые неподвижные звезды. Законы движения, сформулированные в гелиоцентрической системе отсчета Коперника, имеют особенно простой вид. Движение рассматривается относительно неподвижной системы координат, если бы центр тяжести Солнца покоился бы, то гелиоцентрическая система координат была бы абсолютно неподвижной. Но Солнце движется вокруг галактик. В соответствии с первым законом Ньютона, такую систему считают за неподвижную систему. В целях наглядности ниже мы будем рассматривать движение тел относительно системы отсчета, связанная с Землей (лабораторная система координат). При такой замене гелиоцентрической системы отсчета лабораторной мы совершаем некоторые погрешности, которые невелики и могут быть учтены. Расстояние S₁₂ между двумя точками с координатами (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂) равно

(1.1)

На основании опыта с макроскопическими телами утверждают, что величина данного пространственного интервала относительно разных произвольно движущихся систем отсчета () одна и та же для данного момента времени, т.е.

, (1.2)

Отсюда можно утверждать, что независимо от движения штрихованной системы отсчета относительно не штрихованной S, расстояния и, взятые в один и тот же момент времени равны между собой.

Пространство, в котором выполняется соотношение (1.2) для любой ориентации интервала, называется евклидовым. Мы подразумеваем, что движение в классической механике совершается в евклидовом пространстве. Утверждение об относительности механического движения вытекает из свойства однородности пространства: ни одна точка пространства ничем не отличается от любой другой точки.