Лекция 7. Частные производные функции. Дифференцируемость и

полный дифференциал. Геометрические приложения.

Частные производные от сложных функций. Частные

порядков. Формула Тейлора для функций многих

переменных

Для краткости рассмотрим функцию двух переменных. Пусть функция определена в некоторой сферической окрестности точки . Разности , называются приращениями аргументов. Ясно, что , . В случае точек из данной окрестности, следующие разности называются частными приращениями функции:

,

.

Частными производными от функции в точке называются следующие пределы:

,

.

Для частных производных приняты следующие обозначения:

,

.

Частные производные могут существовать, могут быть бесконечными, но могут и не существовать. Заметим, что при определении частной производной фиксируются все аргументы кроме одного, по которому берутся приращения и берут предел. Поэтому на частные производные распространяются все правила дифференцирования функций одной переменной. Для непосредственного вычисления частной производной по данному аргументу остальные аргументы фиксируются и находят производную по данному аргументу с применением таблицы производных.

Примеры: Найти частные производные: 1) , 2) , 3) .

Заметим, что если функция не будет определена в сферической окрестности данной точки, то частные приращения функции могут не иметь cмысла.

.

Это связано с тем, что в граничных точках области задания функции не всегда можно вычислить частные приращения этой функции, например в точке .

Приведем пример функции, которая не имеет частных производных в данной точке:

в точке .

не существует.

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется выражение

.

Определение. Функция называется дифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

…+…+, (1)

где …, - некоторые независящие от числа, а …, - бесконечно малые при функции, равные нулю при .

Соотношение (1) называется условием дифференцируемости функции в данной точке. Условие (1) можно записать и в следующей форме

…+. (2)

Если хотя бы одно из чисел …, отлично от нуля, то сумма …+ представляет собой главную, линейную относительно приращений аргументов часть приращения дифференцируемой функции. Справедлива следующая теорема

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где определяются из условий (1) или (2) дифференцируемости функций.

Доказательство. Из условия (1) дифференцируемости функции в точке вытекает, что ее частное приращение в этой точке равно . Отсюда вытекает, что .

Следствие 1. Условие (2) дифференцируемости функции в данной точке можно записать в следующей форме

…+. (3)

Следствие 2. Если функция дифференцируема в точке , то представление ее приращения в форме (1) и (2) единственно.

Доказательство. В самом деле, коэффициенты этих представлений равны частным производным в данной точке и поэтому определяются единственным образом.

Свойство дифференцируемых функций. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. В самом деле, из условия (1) дифференцируемости функций в точке вытекает, что , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Геометрически дифференцируемость функции в точке означает наличие касательной плоскости к графику функции в точке .

Выясним достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

Теорема 2. Если функция имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , причем все эти частные производные непрерывны в самой точке , то указанная функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Для простоты проведем доказательство для функции двух переменных . Пусть обе частные производные и существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Дадим аргументам и столь малые приращения и , чтобы точка не выходила за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде

.

Выражение можно рассматривать как приращение функции одной переменной на сегменте . Поскольку функция имеет частные производные, указанная функция дифференцируема и ее производная по представляет собой частную производную . Применяя к указанному приращению формулу Лагранжа, найдем такое на интервале

, что

.

Рассуждая совершенно аналогично, получим, что для некоторого из интервала ,

.

Так как производные и непрерывны в точке , то

,

где и - бесконечно малые при и функции. Отсюда, учитывая приведенные выражения для

и

и выражение для , найдем

.

Следовательно, функция дифференцируема в точке . Ч.т.д.

Определение. Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке . Если все коэффициенты в представлении (1) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал функции в точке считается равным нулю.

Таким образом, дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется выражение

…+. (4)

Используя теорему 1, мы можем, очевидно, переписать выражение (4) для дифференциала следующим образом:

…+. (5)

Введем понятие дифференциала независимой переменной . Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое (не зависящее от ) число. В дальнейшем будем брать это число равным приращению независимой переменной . Тогда мы можем переписать формулу (5) в виде

…+. (6)

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Найдем сначала частные производные функции по трем переменным и :

и подставим их в формулу (6):

- полный дифференциал.

§ 48. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим сложную функцию , где

(6)

Теорема 1. Пусть функции (6) дифференцируемы в некоторой точке , функция дифференцируема в соответствующей точке , где , . Тогда сложная функция , где определяются соотношениями (6), дифференцируема в точке . При этом частные производные этой сложной функции в точке определяются формулами

(7)

в которых все частные производные берутся в точке , а все частные производные функций (6) по аргументам берутся в точке .

Доказательство. Придадим аргументам в точке произвольные приращения , не равные одновременно нулю. Этим приращениям соответствуют приращения функций (6) в точке . Приращениям в свою очередь соответствует приращение функции в точке . Поскольку функция предполагается дифференцируемой в точке , указанное приращение этой функции может быть записано в виде

, (8)

где частные производные берутся в точке , а - бесконечно малые при функции, равные нулю при . Подчеркнем, что в соотношении (8) представляют собой приращения функций (6), отвечающие выбранным приращениям аргументов этих функций. В силу дифференцируемости функций (6) в точке указанные приращения можно записать в следующей форме:

, , (9)

где частные производные берутся в точке , а .

Мы должны убедиться в том, что после подстановки в правую часть (8) выражений (9) приращение может быть приведено к виду

, (10)

где

. (11)

Доказательство теоремы мы завершили, т.к. формула (10) устанавливает факт дифференцируемости сложной функции, а выражение (11) представляет собой частную производную указанной сложной функции.

Примеры. 1) Найти частные производные функции по аргументам и .

Решение. Данная функция является сложной: , где , , . Обозначим частную производную функции по аргументу через . Функции зависят от тех же аргументов, что и функция . Применяя формулу (7), получим

, , .

2) Найти дифференциал функции в точке .

Решение. Запишем функцию в виде , где , . Вычисляя частные производные и по формуле (7), получим

,

Следовательно, .

Мы ввели понятие дифференциала функции нескольких переменных и установили, что когда аргументы являются независимыми переменными, то дифференциал можно представить в виде

…+. (11)

Мы покажем, что формула (11) является универсальной и справедлива также и в том случае, когда аргументы сами являются дифференцируемыми функциями новых переменных . Указанное свойство первого дифференциала обычно называют свойством инвариантности его формы.

Пусть аргументы функции представляют собой дифференцируемые в точке функции , а сама функция дифференцируема в точке , где . В таком случае мы можем рассматривать сложную функцию аргументов , которая в силу теоремы 1, является дифференцируемой в точке . Поэтому дифференциал этой сложной функции можно представить в виде

, (12)

где определяется из соотношений (6). Подставляя из (6) в (12) и собирая коэффициенты при , получим

.

В последнем соотношении коэффициент при равен дифференциалу функции . Мы получим два дифференциала сложной функции формулу, в которой дифференциалы будут дифференциалами функций . Инвариантность формы первого дифференциала установлена.

Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила дифференцирования. Пусть и - дифференцируемые функции каких-либо переменных. Тогда

, .

Пусть существуют конечные частные производные и во всех точках из некоторой сферической окрестности Тогда можно говорить о частных производных этих новых функций в точке . Они являются частными производными второго порядка от исходной функции в точке . Обозначаются они следующим образом:

, ,

, .

Аналогично, исходя из частных производных второго порядка, определяются частные производные третьего порядка и т.д. Например, означает частную производную четвертого порядка. Если в данной частной производной встречаются разные аргументы, то такая частная производная называется смешанной частной производной.

Предварительно введем понятие раз дифференцируемой функции нескольких переменных.

Определение. Функция называется раз дифференцируемой в точке , если все частные производные -го порядка этой функции являются дифференцируемыми функциями в точке .

Утверждение. Для того, чтобы функция была раз дифференцируемой в точке , достаточно, чтобы все ее частные производные -го порядка были непрерывными в точке .

Можно доказать, что две смешанные производные от функции в данной точке совпадают между собой, если эти частные производные непрерывны в этой точке и каждый аргумент, который встречается в этих производных присутствует одинаковое число раз в каждой из этих двух производных. В случае непрерывности этих производных выполняется равенство:

.

Теорема. Пусть функция дважды дифференцируема в точке . Тогда в этой точке частные производные равны.

Доказательство. Так как функция дважды дифференцируема в точке , то частные производные и определены в некоторой окрестности точки и представляют собой дифференцируемые функции в этой точке. Рассмотрим выражение

, (1)

где - любое, столь мало число, что точка находится в указанной окрестности точки . Выражение Ф можно рассматривать как приращение дифференцируемой на сегменте функции одной переменной . Поэтому по формуле Лагранжа, обозначая через некоторое число из интервала , можем записать

(2)

Так как частная производная является дифференцируемой в точке функцией, то

,

,

где - бесконечно малые при функции. Подставляя найденные выражения для и в формулу (2), получим

, (3)

где - бесконечно малая при функция. С другой стороны, выражение Ф, определяемое соотношением (1), можно рассматривать как приращение дифференцируемой на сегменте функции . Применяя формулу Лагранжа и учитывая дифференцируемость частной производной в точке , мы получим совершенно аналогичное предыдущему следующее выражение для Ф:

, (4)

где - бесконечно малая при функции. Приравнивая правые части соотношений (3) и (4) и сокращая обе части полученного равенства на , найдем, что . Так как - бесконечно малые при функции, то из последнего равенства следует, что . Ч.т.д.

Пример. Найти частные производные функции .

Рассмотрим случай функции двух переменных . Пусть эта функция дифференцируема во всех точках из некоторой сферической окрестности Тогда в каждой точке для полного дифференциала выполняется равенство:

.

Тогда ясно, что становится функцией от четырех переменных . Фиксируем две из этих переменных и . Тогда , как функция от двух переменных , может быть дифференцируемой в т. . Полный дифференциал этой новой функции от аргументов и называется дифференциалом второго порядка от исходной функции в точке , если новые приращения аргументов и совпадают с дифференциалами и (которые временно были фиксированы).

Ясно, что в случае существования дифференциала 2-го порядка выполняется следующее равенство:

.

Отсюда в случае непрерывных смешанных производных получим равенство

. (5)

Аналогично, получаются формулы дифференциалов любого порядка в случае непрерывных смешанных производных и в случае любого числа аргументов.

Пример. Найти полный дифференциал второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка

Затем - вторые производные:

;

. Найденные частные производные подставим в формулу (5) и найдем полный дифференциал второго порядка:

.

Как известно, если функция раз дифференцируема в точке , то имеет место следующая формула Тейлора:

=,

при .

Можно доказать, что если производная непрерывная в некоторой окрестности точки , то для остатка выполняется равенство

.

Если обозначить , то формулу Тейлора можно записать в следующем виде

=

=, .

Рассмотрим теперь функцию многих переменных , которая имеет непрерывные частные производные -го порядка, в которых сферические окрестности точки . Тогда в любой точке из этой сферической окрестности имеет место следующая формула Тейлора

=, ,

.

Эта формула Тейлора получается из формулы для функций одного аргумента, если рассмотреть следующую сложную функцию от одного аргумента

, .