Лекция 4. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Матричный метод.

С помощью правила Крамера можно решать только системы линейных уравнений с неизвестными и то, только в случае, когда главный определитель системы отличен от нуля. Метод Гаусса или Жордана-Гаусса или метод последовательных исключений применим к решению систем с любым количеством уравнений и неизвестных. Суть метода Гаусса заключается в следующем: элементарными преобразованиями исходная система уравнений (1) приводится к более простой эквивалентной системе «диагонального» вида. В результате мы придем к уравнению с одним неизвестным.

Алгоритм метода:

1. В первом уравнении системы (1) возьмем неравный нулю коэффициент и назовем его разрешающим. Разделим все уравнение на него. Тогда первое уравнение системы примет вид:

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу данной системы:

.

Поменяем первую и вторую строки в матрице, т.е. получим эквивалентную матрицу, чтобы в первой строке первый элемент был 1 (разрешающий элемент):

.

Первую строку перепишем, а вторую получим, когда умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, а третью перепишем.

Получим эквивалентную матрицу:

.

Первую и вторую строки перепишем, а третью получим, когда умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей.

Получим эквивалентную матрицу:

.

Поменяем вторую и третью строки местами и получим эквивалентную матрицу:

.

Полученная матрица является матрицей диагонального вида. Коротко это можно записать так:

.

От этой матрицы перейдем назад к системе уравнений:

Из последнего уравнения получим . Подставим этот корень во второе уравнение: . Подставим оба полученных корня в первое уравнение системы: .

Ответ: ; ; .

IY. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (3)

Положим, что , , .

Тогда систему (3) можно записать в матричной форме:

. (6)

Пусть для системы (3) ее матрица - невырожденная, тогда для существует обратная матрица . Умножим обе части уравнения (6) слева на и получим . Так как ,

решение системы (3) в матричной форме имеет вид:

. (7)

Пример. Решить систему матричным методом

Тогда , , .

Составим определитель матрицы :

матрица невырожденная. Следовательно, для матрицы существует обратная матрица. Найдем ее (см предыдущую лекцию):

.

Для начала найдем алгебраические дополнения:

;

Следовательно, присоединенная матрица будет иметь вид:

.

Найдем обратную матрицу:

.

Тогда по формуле (4):

.

Ответ: ; ; .

Мы решили одну и ту же систему разными методами.

Y. Определение. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения называется несовместной.

Если все свободные члены системы (1) равны нулю, то система называется однородной:

(2)

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. имеет своим решением

Теорема (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее главной матрицы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.

Пример. Система уравнений

является совместной т.к. она имеет решение ; ; .