Лекция 7. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение

векторов.

Опр. Любая упорядоченная совокупность действительных чисел называется -мерным вектором и обозначается через

или .

Числа называются координатами вектора . Число - i –ая координата вектора. Количество координат вектора  называют его размерностью.

Пример. -пятимерный вектор.

Опр. Два вектора и называются равными, если равны их соответствующие координаты.

Опр. Длиной или модулем вектора называется неотрицательно число, равное

.

Опр. Расстоянием между двумя точками и пространства называется длина вектора , соединяющего эти точки, т.е.

.

Расстоянием между двумя точками и обозначается через или . Оно обладает следующими свойствами:

1. ; , если М совпадает с N.

2. =

3. , где - любая точка пространства .

Опр. Расстоянием между двумя векторами называется длина вектора .

Тогда .

Опр. Произведением вектора на действительное число называется вектор

,

т. е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. Зная вектор  , можно получить противоположный вектор .

Опр. Суммой векторов  и 

 называется вектор

,

т. е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются.

Используя понятие противоположного вектора, можно определить операцию вычитания векторов.

Опр. Разностью векторов и 

 называется вектор

,

т. е. при вычитании векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются.

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. Для любого найдется вектор такой, что .

7.  Для любого .

8. Существует  нулевой элемент   такой, что   для  любого .

Опр. Скалярным произведением двух -мерных векторов и  называется число, обозначаемое   и равное сумме произведений соответствующих координат векторов   и  :

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. , причем тогда и только тогда, когда ;

2. ;

3. ;

4. ;