Лекция 6. Показательная форма комплексного числа. Формула

Муавра.

Рассмотрим показательную форму комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в показательной форме:
, где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде 

Например, для числа  предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Число  в показательной форме будет выглядеть так: 

Число  – так: 

Пример 1. Возвести в квадрат комплексное число .

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра:

Опр. Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

.

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Пример 2. Дано комплексное число , найти .

Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме.

Тогда, по формуле Муавра:

Применяя формулы приведения, получим:

Пример 3.

Нельзя извлечь корень из отрицательного числа! Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Пример 4. Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

 – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: , .

Как извлечь корень из комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при  получается квадратный корень . Уравнение вида  имеет ровно  корней , которые можно найти по формуле:
, где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр  принимает значения: 

Пример 5. Найти корни уравнения 

Перепишем уравнение в виде 

В данном примере ,  , поэтому уравнение будет иметь два корня:  и .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
, 

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число  располагается в первой четверти, поэтому:

Еще более детализируем формулу:
, 

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: , .

Пример 6. Найти корни уравнения , где 

Сначала представим уравнение в виде :

Если , тогда 

Обозначим  привычной формульной буквой: .
Таким образом, требуется найти корни уравнения 

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , , 
Детализируем общую формулу:
, 

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число  располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализируем формулу:
, 
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение  и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение  и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение  и получаем третий корень: