Лекция 5. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи. Действия

над комплексными числами.

Те числа, с которыми мы работали до сих пор, в математике называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой  . Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой.

Комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью () комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Комплексная плоскость состоит из двух осей:  – действительная ось
 – мнимая ось.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , 
, , 
, , , 
Алгебраическая форма записи комплексного числа имеет вид:  . Еще существует тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел.

Пример 1. Сложить два комплексных числа , 

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Для комплексных чисел справедливы переместительное и сочетательное свойство сложения.

Пример 2.Найти разности комплексных чисел  , если , 

Или  .

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел  , 

Очевидно, что произведение следует записать так:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Пример 4. Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение:

Пример 5. Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

3. Кроме алгебраической записи комплексного числа, существует и тригонометрическая форма. Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в тригонометрической форме:
, где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим

его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что .
Опр. Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости, т.е. модуль – это длина радиус-вектора. Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или .

Опр. Аргументом комплексного числа  называется угол  между положительной полуосью действительной оси  и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа  стандартно обозначают:  или 

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: . 

Данная формула работает только в правой полуплоскости!

Пример 6

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что  (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что  (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что  (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:  (270 градусов), и, соответственно: .Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла:  (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: 

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Итак, модуль определяется по формуле . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:

1) Если  (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если  (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если  (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , .

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку  (случай 2), то  – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. Т.е. – число  в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку  (случай 1), то  (минус 60 градусов).

Таким образом:
 – число  в тригонометрической форме.