Лекция 2. Определители n-го порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица порядка называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Определение. Матрица называется обратной матрицей для данной квадратной матрицы , если выполняются условия

и , где - единичная матрица.

Определение. Минором элемента определителя называется определитель, составленный из оставшихся его элементов после вычеркивания -ой строки и -го столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента обозначается через .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается через .

. (1)

Пример. Для определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов , , .

Чтобы найти минор для элемента , надо в определителе вычеркнуть первую строку и второй столбец и записать определитель из оставшихся элементов:

Чтобы найти минор для элемента , надо в определителе вычеркнуть вторую строку и второй столбец и записать определитель из оставшихся элементов.

Чтобы найти минор для элемента , надо в определителе вычеркнуть вторую строку и третий столбец и записать определитель из оставшихся элементов.

.

Алгебраические дополнения найдем по формуле

.

Определение. Определителем матрицы n-го порядка по строке называется число .

Пример . Найти определитель матрицы……

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначается через .

Пример . Вычислить ранг матрицы .

Т.к. в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, то мы можем утверждать, что ранг матрицы как минимум равен 1. Теперь возьмем минор второго порядка в левом углу матрицы . Мы можем утверждать, что ранг матрицы как минимум равен 2. Теперь возьмем минор третьего порядка в левом углу матрицы . Мы можем утверждать, что ранг матрицы как минимум равен 3. Т.к. мы не можем выделить из матрицы минор порядка выше 3, то делаем вывод, что наивысший порядок миноров, отличных от нуля, равен 3. Тогда .

Если в матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением и полученную матрицу транспонируем (т.е. -ю строку заменим -м столбцом), то мы получим присоединенную матрицу , т.е

. (2)

Теорема. Если матрица невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица , которая вычисляется по формуле:

. (3)

Пример. Найти матрицу, обратную для данной матрице .

Найдем определитель матрицы , т.е. :

обратная матрица существует. Найдем для всех элементов этой матрицы ( у нас их 9) миноры и алгебраические дополнения:

;

.

Cледовательно, присоединенная матрица (2) будет иметь вид:

.

Тогда обратную матрицу для будем искать по формуле (3):

.