Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Определители.

I.Определение. Матрицей размера называется система чисел, расположенных в прямоугольной таблице из строк и столбцов, вида

. (1)

Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса: первый означает номер строки, второй – номер столбца.

Пример.

- матрица порядка .

Матрица-строка состоит из одной строки . Матрица-столбец состоит из одного столбца

.

Определение. Матрица (1), у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей -го порядка , т.е.

.

Элементы составляют главную диагональ, а элементы - вторую диагональ.

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Пример.

.

Определение. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, называется единичной матрицей и обозначается

Пример.

Определение. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица обозначается через

Пример.

.

Действия сложения и вычитания матриц определяются только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой двух матриц называется такая матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е.

.

Пример.

.

Определение. Разностью двух матриц называется такая матрица, элементы которой равны разности соответствующих элементов вычитаемых матриц, т.е.

.

Пример.

.

Определение. Произведением числа и матрицы называется такая матрица, элементы которой равны соответствующим элементам матрицы умноженным на число , т.е.

.

Пример.

.

Определение. Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Действие умножения двух матриц определяется только для согласованных матриц.

Пример.

.

По определению видно, что если матрица согласована с матрицей , то это не означает, что матрица согласована с матрицей , т.е.

.

II. Определение. Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице второго порядка называется число, равное и обозначаемое символом , т.е.

.

Здесь - элементы определителя.

Пример. Вычислить определитель:

.

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка называется число, равное и обозначаемое символом , т.е.

.

Пример. Вычислить определитель:

.

Свойства определителей: