Оглавление

10. Предкомпактные подмножества пространства

Пусть – пространство всех непрерывных на данном отрезке функций с равномерной нормой

.

Эта норма порождает в равномерную метрику

.

Пространство является одним из важнейших метрических пространств в анализе.

Как известно, метрическое пространство называется компактным, если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие или, что то же, если любая бесконечная последовательность из имеет хотя бы один частичный предел, принадлежащий .

Для кодируемости множеств в метрических пространствах достаточным является менее «жесткое» требование к этим множествам, чем компактность, а именно их предкомпактность.

Множество в метрическим пространстве называется предкомпактным, если его замыкание в этом пространстве компактно, т.е. если компактно пространство .

Значит, в случае предкомпактности в пространстве любая бесконечная последовательность из имеет хотя бы один частичный предел, принадлежащий множеству (и не обязательно самому множеству ).

Отметим также, что в случае подмножеств полных метрических пространств предкомпактность эквивалентна полной ограниченности (т.е. существованию при любом заданном конечной -сети).

Напомним, что метрическое пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность из является сходящейся.

Ниже существенно используется

Теорема. В любом полном метрическом пространстве из предкомпаткности данного множества вытекает его полная ограниченность и, обратно, из полной ограниченности множества вытекает его предкомпактность.

Доказательство. Если множество конечно, то оно и предкомпактно, и вполне ограничено. Для доказательства первого утверждения в случае бесконечных множеств допустим от противного, что некоторое бесконечное множество предкомпактно, но не является вполне ограниченным. Тогда найдется такое, что для не существует конечная -сеть. Поэтому найдется бесконечная последовательность из такая, что для любых двух различных элементов и выполняется неравенство (в противном случае некоторое конечное множество элементов образовало бы конечную -сеть для ).

Значит, последовательность не является фундаментальной, а поэтому ни одна из ее подпоследовательностей не может сходиться в , т.е. бесконечная последовательность не имеет частичных пределов в , что противоречит предкомпактности множества в .

Обратно, пусть бесконечное множество вполне ограничено в полном метрическом пространстве и докажем, что любая бесконечная последовательность из множества имеет хотя бы один частичный предел, принадлежащий .

Возьмем точки из , образующие конечную -сеть для , и построим замкнутые шары радиуса с центрами в этих точках. Тогда хотя бы один из этих шаров (их конечное число) содержит бесконечную подпоследовательность последовательности Обозначим их через

Заметим, что для всех

Аналогично, построим бесконечную подпоследовательность последовательности , взяв -сеть для и замкнутые шары радиуса с центрами в точках -сети для .

Продолжив этот процесс до бесконечности, мы получим следующую таблицу:

……………

……………

В ней последовательность в каждой следующей строке является подпоследовательностью последовательности в предыдущей строке и при любом выполняется неравенство для всех и всех , в частности, при ( - любое натуральное) и .

Рассмотрим диагональную последовательность , которая будет фундаментальной. Действительно, по построению имеем , поэтому левая часть стремится к нулю при , независимо от значения натурального .

В силу полноты пространства последовательность имеет предел, принадлежащий . Следовательно, предкомпактно в .

Выясним теперь, какие условия обеспечивают предкомпактность (что то же, полную ограниченность) подмножеств полного пространства с равномерной метрикой.

Напомним, что определенная на данном множестве функция называется:

1) непрерывной на , если

;

2) равномерно непрерывной на , если

.

Семейство функций , определенных на данном множестве , называется равностепенно непрерывным на , если

.

Семейство функций , определенных на множестве , называется равномерно ограниченным на , если

.

Теорема (Арцела). Для предкомпактности множества функций из пространства с равномерной метрикой необходимо и достаточно, чтобы на отрезке множество было одновременно

1) равномерно ограниченным,

2) равностепенно непрерывным.

Доказательство. Необходимость. Пусть множество из предкомпактно. Тогда множество вполне ограничено. Поэтому при для существует конечная -сеть функций из , а значит, для любой найдется такая, что .

Отсюда, если обозначить , получим , т.е. множество равномерно ограничено.

Для доказательства равностепенной непрерывности множества на возьмем произвольное и соответствующую -сеть из .

В силу равномерной непрерывности () на отрезке найдется такое, что для любых с выполняется неравенство .

Положим . Тогда для любой функции и любых с получим

,

если .

Значит, множество функций равностепенно непрерывно на .

Достаточность. Пусть множество функций из на отрезке одновременно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Тогда существует число такое, что для любой функции и любой точки .

Возьмем произвольное и покажем, что в существует конечная -сеть для множества . Искомую -сеть построим из ломаных, непрерывных на отрезке . Для этого возьмем такое, что для любых с вытекает для любой функции .

Возьмем конечные разбиения и такие, что () и (). Построим прямоугольную сетку с помощью прямых () и ().

Так как получится сетка с конечным числом узлов, всевозможных ломаных с вершинами в этих узлах также будет конечное число. Они образуют -сеть для множества .

Действительно, если , то выберем ломаную следующим образом: точка является вершиной ломаной , если выполнено условие .

Тогда для любой точки получим

.

Значит, .