Тема 9. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9.1. Задача о вычислении криволинейной трапеции

9.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

9.4. Методы интегрирования определенного интеграла

9.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x).

Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x).

Ставится задача: вычислить площадь этой криволинейной трапеции (рис. 13)

Решение.

1) Разобьём отрезок [a;b] на n частей точками x₀= a; x₁; x₂; x_n_–1;x_n =b и проведём прямые x = x₁, x = x₂, … x = x_т–₁, которые разобьют трапецию на n частей.

2) Обозначим Dx_k= x_k – x_k_–₁ – длины отрезков разбиения [a;b]. На каждом из отрезков произвольно выберем точку M_k (k = 1, 2,…, n).

Построим на каждом из отрезков прямоугольники с высотами, равными значению функции в выбранных точках M_k .

Площади полученных прямоугольников равны:

S₁ = f (M₁) × D x₁; S₂ = f (M₂) × D x₂, …., S_n = f (M_n) × D x_n .

3) Найдём сумму этих площадей:

Получили площадь ступенчатой фигуры. Эта площадь зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на части и от выбора на каждой из частей точек M_k (k = 1, 2,…, n).

Чем больше будет точек разбиения отрезка [a;b] на части и мельче по длине эти части, тем точнее сумма будет приближаться к площади данной криволинейной трапеции, т.е. можно записать:

Определение 2. Сумма называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a;b].

Определение 3. Предел интегральной суммы функции f (x) на отрезке [a;b] при n ® ¥ и max Dx_k ® 0 называется определённым интегралом функции f (x) на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек M_k (k = 1,…, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

При этом отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования, “a” – нижним пределом интегрирования, “b” – верхним пределом.

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a;b]). Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то определённый интеграл существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a;b] интегрируема.

Геометрический смысл определённого интеграла

2) Если область ограничена двумя кривыми y = f (x) и y = g(x), причём при xÎ [a;b] f (x) ³ g(x), то площадь области, ограниченной кривыми y = f (x); y = g(x) и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле:

9.2. Свойства определённого интеграла

5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она интегрируема и на отрезке [a;b], причём верно равенство:

при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

6) Если f (x) ³ 0 при xÎ [a;b], то

7) Если на отрезке [a;b] f (x) ³ g (x), то

8) Теорема 2 (о среднем значении определённого интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Доказательство. Так как функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “m” и наибольшего “M” значений. Тогда m £ f(x) £ M для любого xÎ[a;b]. По свойству 7 определённого интеграла можно записать неравенство:

Так как m и M – постоянные числа, то

(*)

Вычислим по определению определённого интеграла

Тогда неравенство (*) можно переписать в виде:

Разделим все части полученного неравенства на (b – a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает все значения, заключённые между наименьшим “m” и наибольшим “M” значениями. Значит найдётся на отрезке [a;b] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Теорема доказана.

9.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства

Определение 4. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на отрезке [a;x] для любого xÎ[a;b]. Следовательно, на отрезке [a;b] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда функция обладает свойствами:

1) непрерывна на отрезке [a;b];

2) имеет производную F'(x) в каждой точке xÎ[a;b], удовлетворяющую равенству.

Доказательство. Вычислим приращение функции F(x), причём Dx возьмём таким, чтобы точка x + Dx Î [a;b].

Тогда

Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определённого интеграла, т.е. на отрезке [x; x + Dx] существует такое число c, в котором выполняется равенство:

Значит, DF = f (c)× Dx, где c Î [x; x + Dx].

Если Dx ® 0, то c ® x (так как x < c < x + Dx).

Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c) ® f (x) при Dx®0.

Таким образом, DF®0 при Dx®0, что доказывает непрерывность F(x).

Кроме того, вычисляя предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, получим:

т.е. существует конечный предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, что означает существование производной F' (x) = f (x).

Теорема доказана.

Из теоремы 3 следует, что функция является первообразной для функции f (x).

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция также является на отрезке [a;b] первообразной для f(x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

для любого xÎ [a;b] (**)

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определённого интеграла (§3, п.2, с. 93) , рассмотрим равенство (**) при x = a:

Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:

для xÎ [a;b]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

где используется обозначение:

Задача вычисления определённого интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Пример 1. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 2. Вычислить интеграл:

Ответ: .

9.4. Методы интегрирования определённого интеграла

Замена переменной в определённом интеграле

Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a £ j (t) £ b для tÎ [a;b], причём j(a) = a, j(b) = b.

Тогда справедливо равенство:

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует определённый интеграл и справедлива формула Ньютона– Лейбница:

(1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на отрезке [a;b].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке отрезка [a;b], причём

F'(x) = f (x) для любого xÎ [a;b].

Так как функция x = j(t) непрерывна на [a;b] и множество её значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Î [a;b].

Так как j'(t) непрерывна на отрезке [a;b], то функция f(j(t)) × j'(t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:

Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'_t = F'(x)× j'(t) = f (x)× j'(t) = f (j (t))× j'(t) для любого t Î [a;b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона–Лейбница:

(2)

(так как j(b) = b и j(a) = a).

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

Пример 3. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить интеграл:

Ответ:

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Теорема 6. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:

Доказательство. Так как (u(x)× v(x))' = u(x) v' (x) + u' (x)× v(x) для любого x Î [a;b], то функция u(x) × V(x) является одной из первообразных функции u (x) ∙ v' (x) + u' (x) ∙ v(x).

Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница:

Пользуясь свойством определённого интеграла можно это равенство записать в виде:

Отсюда следует:

Эту формулу удобно записать в виде:

Пример 5. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 6. Вычислить интеграл:

Ответ:

9.5. Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

а) Область D ограничена кривыми y = f(x) и y = g(x), прямыми x = a и x = b, причём f(x) ³ g(x) для xÎ[a;b].

б) Область D ограничена кривыми x = f(y) и x = g(y), прямыми y = c и y = d, причём f (y) ³ g(y) для yÎ[c;d].

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

а) Полярная система координат задается полярной осью Ox, полюсом – точка O и масштабной единицей (рис. 14)

Точка M в этой системе задаётся двумя координатами (j и r): j – угол наклона радиуса-вектора к оси Ox; r – длина радиуса-вектора . Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе, связанной с полярной точкой начала координат – точка 0, осью абсцисс с полярной осью и осью ординат, перпендикулярной полярной оси

M(j;r) = M(x; y): и

Уравнение кривой в полярной системе координат – соотношение между r и j: r = r (j).

б) Площадь криволинейного сектора в полярной системе, ограниченного лучами j =a и j = b, кривой r = r(j) (рис. 15), вычисляется по формуле:

Вычисление объёма тела по площадям параллельных сечений

Пусть задано объёмное тело T, для которого известна площадь S(x) любого сечения плоскостью, проходящей через точку (x;0;0) перпендикулярно оси Ox, a £ x £ b (рис. 16). Нужно вычислить объём тела.

Пусть функция S(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда объём тела T вычисляется по формуле:

Вычисление объёма тела вращения

Надо вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой y = f (x), осью Ox и прямыми x = a, x = b.

В таком случае площадь поперечного сечения в точке xÎ [a;b] круг радиусом f(x) равна:

Тогда объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, вычисляется по формуле:

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой x = j(y), осью Oy и прямыми y = c, y = d, вычисляется по формуле: