Тема 4.  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1. Определение производной, ее геометрический и механический смысл

4.2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

4.3. Таблица производных основных элементарных функций

4.4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

4.5. Правила дифференцирования

4.6.Дифференцирование функции, заданной неявно

4.7. Производные показательной и степенной функций

4.8. Производные обратных тригонометрических функций

4.9. Дифференциал функции

4.10.Производные и дифференциалы высших порядков

 

 

4.1. Определение производной, её геометрический и механический смысл

         Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎD(f) и некоторое число Dx такое, чтобы точка x+DxÎD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1.  Приращением функции  называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции  обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции  называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции  обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Решение.  Dy= f(x+ Dx) – f(x) = =.

.

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения:

.

         Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел   при Dt ® 0:

         V(t) = .

         Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t :

.

Геометрический смысл производной

         Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М0  (рис. 5).

         Точка M0(x0;y(x0)) – фиксированная точка графика . Точка         M(x0+Dx; y(x0+Dx))  при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M0 (при этом Dx ® 0), то секущая линия M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M0.

 

Рис. 5

         Рассмотрим  треугольник  M0MA: tg j = ,  j – угол  наклона секущей M0 M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0:

j = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

         Таким образом,  y' (x0) = tg частное значение производной функции  в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x)  в точке M0(x0; y(x0)).    Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0;y0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y'(x0), можно записать уравнение касательной к линии     y = f(x) в точке M0(x0; f(x0)):

y = f(x0) + f ' (x0) × (x x0).

         Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x0;f(x0)):

y = f(x0) –,

используя условие перпендикулярности прямых:

4.2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

1)   

Вывод: ;

2)  ;

Вывод: ;   

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)   

Вывод: так как ln x = log e x, то, используя производную, для (log a x), можно записать:

 .

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = cc = 0 .

         Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

 

4.3. Таблица производных основных элементарных функций

1.    (c)' = 0

2.    (xa)' = a×xa – 1

3.    (ax)' = ax×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4.    (ex)' = ex

5.    (loga x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

1.    (ln x)' =

2.    (sin x)' =cos x

3.    (cos x)' = – sin x

4.    (tg x)' =

5.    (ctg x)' = 

6.    (arcsin x)' =

7.    (arccos x)' = –

8.    (arctg x)' =

9.    (arcctg x)' =  

4.4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dx = A×Dx + (Dx)×Dx,

где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной). Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом  f '(x) = A.

         Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х.

                               Доказать: A = f '(x).

         Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению  Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,  где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

         Разделим это равенство на Dx ≠ 0: 

         Перейдём к пределу при Dx ® 0:

 существует, а значит f '(x) = A.

         Необходимость доказана.

2) Достаточность: Пусть  f ' (x) – существует. Нужно доказать, что  f(x) дифференцируема.

         Так как существует f '(x)=, то по свойству предела можно записать:  ,  где (Dx) ® 0 при D x® 0.

         Умножим это равенство на Dx:

Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

         Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

         Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

4.5. Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' =  (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

         Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

         Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

         Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV U×V=

= U×DV + V×DU + DU×DV.

         Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит ,  и .

         Следовательно,

(U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

         Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция         (U(x)×V(x) ×W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U×V×W)' = U '×V×W + U×V '×W + U×V×W '.

б)  Производная     постоянной,    умноженной   на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:  (C×U(x))' = C×U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и  V(x) ≠ 0, то функция  дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

,

         Значит,

.

         Теорема доказана.

Теорема (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))'  = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

         Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

 

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.   (f(u(x)))' =  f ' (u) ×u' (x).

         Теорема доказана.

4.6. Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y'.

Пример. Найти y', если функция y задана уравнением:

x3 + y3 xy = 0

Решение.

3x2 + 3y2×y’ – yxy’ = 0

y’(3y2 – x) = y – 3x2

Ответ: .

4.7. Производные показательной и степенной функций

Теорема 1. Степенная функция y = xa (aÎR) дифференцируема при любом  xÎR и справедлива формула:

(xa)' = a ×xa – 1.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = xa, предполагая x > 0:  ln y = a× ln x

         Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = xa неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

         Выразим отсюда y':   .

         Подставим в полученное равенство y = xa:

,  .

         Теорема доказана.

Теорема 2. Показательная функция y = ax (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при любом  xÎR и справедлива формула:

(ax)' = ax × ln a

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax:

ln y = x ln a.

         Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax  неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

         Выразим отсюда y':  y' = y × ln a.

         Подставим в полученное равенство y = ax :  (ax)' = ax × ln a.

         Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(ex)' = ex × ln e  или  (ex)' = ex.

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства      y = (U(x))V(x) по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

4.8. Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 1. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом xÎ(–1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение  x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения:  .

         Выразим из полученного равенства y':  .

         Но  при .  Поэтому , так как .

         Следовательно, получаем:  .

Теорема 2. Функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула: .

Теорема 3. Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

Теорема 4. Функция y = arcсtg x  дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .                                           

   Теоремы 2, 3, и 4 доказываются аналогично теореме 1.

4.9. Дифференциал функции

         Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при  Dx ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx):

 

,

где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое   называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

 

dy = y' (x)× Dx .

         Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как  (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:  dy = y' (x)× dx .

         Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки возьмём x0 = 4, приращение Dx = 0,08,  и подставим в формулу:

,

 

,  где D << 0,08.

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x0 (рис. 6):

 

         Из DM0AN

AN = M0A×tg a = Dx×f '(x0) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x0; f(x0)), при переходе от x0  к  x0+Dx (от точки М0 в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция       u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:  dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:

 

dy = y'(x)dx .

         Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то

 

y' (x) = f ' (u) × u' (x).

         Поэтому  dy = y'(x)dx = f '(u)×u'(x)dx = f '(u)×du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно, du = u' (x)×dx.

         Теорема доказана.

4.10.  Производные и дифференциалы высших порядков

         Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет   на   этом   промежутке   производную y' = f ' (x),  которая   в   свою очередь может иметь производную: (y')' = (f '(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается:  .

         Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y =  f(x) и обозначается:  .

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается:

.

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x)  в точке x называется выражение, обозначаемое d2y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

         Дифференциал третьего порядка функции y = f(x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.