Тема 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2.1. Предел функции в конечной точке
2.3. Предел функции на бесконечности
2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции
2.5. Основные теоремы о конечных пределах
2.6. Первый замечательный предел
2.7. Второй замечательный предел
2.1. Предел функции в конечной точке
Определение 1. Окрестностью
точки x0 называется любой интервал, содержащий
точку x0:
.
Определение 2. d-Окрестностью
точки x0 называется интервал
(
; 
), длина которого 2d, симметричный относительно x0:
Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x0 называется d-окрестность точки x0 без самой точки x0:
Определение 4. Число А называется пределом функции f(x)
при x ® x0, если для любого малого числа ε
> 0 существует такое малое число 
, что для любого x, принадлежащего
D(f) и проколотой
δ-окрестности
точки x0, т.е. 
, выполняется неравенство: 
.
Итак: 
и 
.
2.2. Односторонние пределы
Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции
y = f(x) в точке x0, если для любого малого числа ε
> 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех 
и лежащих в правой
(левой) окрестности точки x0, т.е. 
, справедливо неравенство: 
.
При этом используют следующие
обозначения:
– для правого предела.
– для левого предела.
Замечание 1.
Если f(x) имеет в точке x0, предел равный А, то существуют
и 
и справедливо
равенство:
.
Замечание 2. Если f(x)
имеет в точке x0 правый 
и левый 
пределы, равные между
собой, то в точке 
функция f(x) имеет предел, равный числу:
.
Замечание 3. Если f(x)
имеет в точке x0 правый 
и левый 
пределы, но они не
равны между собой, то в точке x0 функция f(x) не имеет
предела.
2.3. Предел функции на бесконечности
Определение 6. Окрестностью бесконечно удалённой точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству 
, где N достаточно
большое положительное число.
Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при 
, если для любого малого числа ε
> 0 существует другое большое число 
– такое, что для
любого 
удовлетворяющего
неравенству 
выполняется неравенство 
. Этот факт
записывают: 
.
2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 8. Функция a(x) называется бесконечно
малой при x ® x0 или в точке 
, если предел a(x) при
x®
равен нулю: 
.
Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке 
, если предел f(x)
при x ® x0 равен ∞. Это значит, что для любого
сколь угодно большого числа M > 0 существует
малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого удовлетворяющего
неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.
Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X
выполняется неравенство |f(x)| < M.
Основные свойства бесконечно малых функций
1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в
точке 
есть бесконечно
малая функция в этой точке , т.е. если 
– бесконечно малые
функции в точке , то 
– бесконечно малая
функция в этой точке .
2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке , т.е. если – бесконечно малые
функции в точке , то 
– бесконечно малая
функция в этой точке .
3) Произведение бесконечно малой
функции в точке на ограниченную
функцию в некоторой окрестности точки есть бесконечно
малая функция в точке, т. е.
если α(x) бесконечно
малая функция в точке и f(x) ограниченная в
некоторой окрестности точки , то α(x)×f(x) –
бесконечно малая функция в точке.
Следствие из свойства 3). Произведение постоянной c на бесконечно малую функцию α(x) в точке есть бесконечно малая функция в точке, т.е. если α(x) – бесконечно малая функция в точке , то с×α(x) –
бесконечно малая функция в точке x0.
Теорема (о связи между бесконечно
малой функцией в точке x0 и бесконечно большой функцией в
точке x0)
Если функция f(x) является бесконечно большой в точке , то функция 
является бесконечно
малой в точке . (Верно и
обратное утверждение)
2.5. Основные теоремы о конечных пределах
Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке 
тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .
Доказательство этой теоремы вытекает
из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в
точке.
Теорема 2. Если
существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то
существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.
Доказательство:
Пусть 
, тогда по теореме 1 f(x) = А+a(x), где a(x) –
бесконечно малая функция в точке x0. Пусть 
, тогда по теореме 1g(x) = B +
β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в
точке x0. Рассмотрим сумму этих функций:
f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).
Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x0 (по свойству 1 бесконечно малых
функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).
По теореме 1: 
.
Теорема доказана.
Теорема 3. Если существуют
конечные пределы двух функций f(x)
и g(x) в точке , то
существует предел произведения этих
функций в точке, равный
произведению пределов этих функций.
Доказательство: Пусть, тогда по теореме 1: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть 
, тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно
малая функция в точке . Рассмотрим произведение
этих функций:
f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).
Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) –
бесконечно малая функция в точке (по свойствам бесконечно малых функций).
Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).
По теореме 1: 
.
Теорема доказана.
Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём 
, то существует предел частного этих функций 
в точке , равный
частному пределов этих функций, т. е.: если существует и существует
, B ≠ 0, то
существует 
(доказать
самостоятельно).
Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные
пределы функций f(x) и g(x) в точке:
и при стремлении x к x0 выполняется
неравенство: 
φ(x) 
то существует 
φ(x), равный А.
Доказательство:
Возьмем любое e > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства,
данного в условии, число A, получим
φ(x) 
(1)
Так как
, то найдётся такое d1, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию 
, будет верно
неравенство , или, что то же,
. (1)
Аналогично для функции g(x) найдётся такое d2, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию 
, будет верно неравенство
. (1)
Из неравенств, отмеченных (1), следует, что 
φ(x)
,
или, что то
же самое |φ(x)
для всех x ¹ x0,
удовлетворяющих условию 
, где d
– меньшее из d1 и d2. Это означает, что 
φ(x).
Теорема доказана.
2.6. Первый замечательный предел
Теорема. Предел
функции 
в точке 
существует и
равен 1, т.е.
.
Доказательство:
1) Пусть угол x > 0 (x 
). Площади
соотносятся:
(1)
; 
; 
,
где
угол х в радианах.
Подставим
в соотношение (1) полученные значения площадей:
,
,
Так как все части двойного неравенства
положительные, выражение можно переписать так:
Так как 
то по теореме 5:
.
2) Пусть x < 0 (x
)
(по доказанному в первом случае).
Следовательно,
.
Теорема доказана.
2.7. Второй замечательный предел
Теорема. Предел
функции 
при x
существует и равен числу e, т.е. 
.
Замечание. Число e является пределом последовательности
, причем это число иррациональное, т.е. представляется
бесконечной непериодической десятичной
дробью: e = 2,7182818284590… . Более того,
число e трансцендентное, т.е. не является
корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе
это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального
логарифма. Показательная функция с основанием e: 
, называется экспонентой.
Модификация второго замечательного предела
т.е.
.