Дагестанский государственный университет                                           

факультет математики и компьютерных наук

кафедра прикладной математики

 

Теория вероятностей и математическая статистика

Учебное пособие

 

Назаралиев М.А.,Гаджиева Т.Ю., Фаталиев Н.К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Махачкала 2016


 

Содержание

Предисловие. 3

§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КОМБИНАТОРИКИ.. 5

1.1. Множества. 5

1.2. Элементы комбинаторики. 8

Упражнения к параграфу. 11

Контрольные вопросы.. 16

§ 2. СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.. 17

2.1.Случайные события - подмножества пространства ... 18

Упражнения к параграфу. 22

Контрольные вопросы.. 25

§ 3. ВЕРОЯТНОСТЬ. 26

3.1. Классическое определение вероятности. 29

3.2.Частотное определение вероятности. 30

3.3. Геометрическая вероятность. 31

3.4. Аксиомы теории вероятностей. 34

Упражнения к параграфу. 38

Контрольные вопросы.. 42

§ 4. Условная вероятность. Независимость событий.. 43

4.1. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. 43

4.2. Формула полной вероятности и формула Байеса. 46

4.3. Независимость случайных событий. 49

Упражнения к параграфу. 51

Контрольные вопросы.. 58

§ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ.. 59

5.1. Схема Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей. 59

5.2. Полиномиальное распределение вероятностей. 64

5.3. Отрицательное биномиальное распределение. 66

5.4. Предельные теоремы в схеме Бернулли и их применения. 67

Упражнения к параграфу. 76

Контрольные вопросы.. 79

§ 6 ЦЕПИ МАРКОВА.. 80

6.1. Вероятности перехода. 83

6.2. Эргодическая теорема. 84

Упражнения к параграфу. 86

Контрольные вопросы.. 87

§7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. 88

7.1. Свойства функции распределения. 91

7.2. Дискретные случайные величины.. 94

7.3. Непрерывные случайные величины.. 99

7.4. Многомерные случайные величины.. 107

Упражнения к параграфу. 122

Контрольные вопросы.. 126

§ 8. Числовые характеристики случайных величин.. 128

8.1. Интегралы.. 128

8.2. Математическое ожидание и его свойства. 131

8.3. Дисперсия и ее свойства. 137

8.4. Моменты случайной величины.. 141

8.5.Моменты многомерных случайных величин. 143

Упражнения к параграфу. 146

Контрольные вопросы.. 150

§ 9. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.. 151

9.1. Неравенство Чебышева. 152

9.2. Закон больших чисел. (Теорема Чебышева) 153

9.3. .Понятие об усиленном законе больших чисел. Различные виды сходимости в теории вероятностей. 156

Упражнения к параграфу. 159

Контрольные вопросы.. 162

§ 10. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.. 163

10.1. Свойства характеристических функций. 166

10.2. Формула обращения и теорема единственности. 170

Упражнения к параграфу. 175

Контрольные вопросы.. 177

§11. Центральная предельная теорема.. 178

11.1 Центральная предельная теорема для независимых, одинаково распределенных случайных величин. 179

§ 11.2 Центральная предельная теорема для независимых произвольно распределенных случайных величин. 184

Контрольные вопросы.. 186

§ 12. Метод Монте-Карло.. 187

12.1. Общие основы метода Монте-Карло. 188

12.2. Моделирование случайных величин. 194

12.2.1. Способы моделирования случайных величин равномерно распределенных в интервале (0,1) 195

12.2.2. Моделирование дискретных случайных величин. 198

12.2.3. Моделирование непрерывных случайных величин. Стандартный метод  200

12.2.4 Моделирование случайных векторов. 203

12.3. Вычисление определенного интеграла. 204

12.3.1. Вычисление интеграла как среднего значения подынтегральной функции  204

12.3.2. Геометрический способ вычисления интеграла. 207

Упражнения к параграфу. 209

Контрольные вопросы.. 210

Литература. 212

 


 

Предисловие

 

Предлагаемое читателю учебное пособие посвящено изложению основ одной из современных областей математической науки – теории вероятностей. Она написана на основе многолетнего опыта авторов по чтению лекций, проведению семинарских занятий, а также организации самостоятельной работы студентов по университетскому курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

На естественных факультетах университета при изложении материала авторы старались, не снижая математической строгости, максимально удовлетворить современным требованиям его прикладной направленности. С этой целью вместе с введением новых вероятностных понятий, формул исчисления вероятностей и законов распределения случайных величин определяются также области их приложений, физические и производственные процессы, описываемые этими распределениями. Этому способствует также, и то, что  в книгу включен параграф §12, содержащий основные способы моделирования случайных величин с заданными законами распределения. Этот важный вопрос получения множества независимых значений некоторой случайной величины до сих пор остается вне учебной программы, хотя с этой проблемой приходится встречаться при решении как вероятностных, так и статистических задач. В этом же параграфе в качестве практического применения законов больших чисел и центральной предельной теоремы излагаются основы одного из современных универсальных численных методов – метода статистических испытаний или, как его часто называют, метода Монте-Карло; приводятся некоторые примеры его применения.

Книга содержит 12 параграфов, каждый из которых состоит из трех частей: теоретической, решения нескольких типовых задач и задач и упражнений по теме для самостоятельной работы студентов.

Согласно учебным планам предмет теории вероятностей и математической статистики читается на старших курсах вузов. Предполагается, что к этому времени слушатели знакомы с основными математическими понятиями, необходимыми для современного изложения теории, опирающейся на основания теории множеств и теории меры. Однако, книга содержит краткие сведения по всем необходимым понятиям для того, чтобы материал был доступен также для студентов не математиков (§§1-8).


 

§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КОМБИНАТОРИКИ

Классическое определение понятия вероятность связано с опытами с равновозможными исходами. При этом вероятность  некоторого события , связанного с рассматриваемым опытом, определяется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов опыта  (то есть исходов, при которых событие  происходит) к числу всех возможных исходов:

В конкретных случаях подсчет чисел  и  представляет собой довольно трудную задачу. Часто этому помогают комбинаторные методы.

События рассматриваются обычно, как некоторые подмножества множества возможных исходов опыта. Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в различных множествах, состоящих из конечного числа элементов.

 

1.1. Множества

Под множеством мы будем понимать совокупность некоторых элементов, имеющих какую – то определенную природу, общность или какой-то общий признак. Множество будем обозначать большими буквами латинского или русского алфавита, а элементы множества соответствующими маленькими буквами с индексами: А-множество, элемент этого множества,

Пример 1. Множество исходов эксперимента, состоящего в подбрасывании монеты 1 раз: ={Г, Р}, где Г –«герб», Р - «решка».

Пример 2. Множество исходов опыта, состоящего в подбрасывании игральной кости:

Пример 3. Множество цифр:  = {0,1,2,3,…,9}.

Принадлежность элемента а множеству  пишется: ; элемент а не принадлежит . Множество из одного элемента называется элементарным:  Пустое множество обозначается символом .

Множества  и  равны (), если каждый элемент множества  принадлежит множеству  и наоборот.

Например, множество решений квадратного уравнения  и множество {1,2} равны.

Обозначение  – множества  и  не равны.

Для отношения равенства между множествами вводятся так же, как и для чисел, понятия рефлексивность, симметричность и транзитивность:

1) ,

2) если , то ,

3) если А=В и В=С, то А=С,

Объединением двух множеств  и  называется такое множество , элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Пример 4. ={1,3,5,...} - множество всех нечетных натуральных чисел, ={2,4,6,...} - множество всех четных натуральных чисел. Тогда объединением  и  будет множество всех натуральных чисел:

Пересечением множеств  и  называется такое множество  элементы которого принадлежат каждому из этих множеств.

Например, для множеств  из предыдущего примера выполняются равенств:

Говорят, что множества  и  не пересекаются, если

.

Множество  называется частью множества , если каждый элемент множества  принадлежит . Обозначение: . Чаще говорят, что множество  является подмножеством множества .

Пустое множество  является частью любого множества.

Если  и , то будем говорить, что множество В строго содержится в множестве : .

Например, , .

Дополнением части  множества  до множества  называется множество , состоящее из всех элементов множества , не принадлежащих множеству .

Пример 5:

Часто мы имеем дело с подмножествами , , ,... одного и того же множества . Если рассматриваются дополнения до этого множества, то вместо «дополнение множества  до множества » будем говорить  просто  «дополнение »  а вместо ( ) -писать .

Свойства дополнений. Пусть  произвольное множество,  и  - некоторые его части. ,  - дополнения  и . Тогда:

1)

2)

3)

4)

5) .

Свойства 1)-3) достаточно просты и вытекают из определений объединения, пересечения и дополнения. Однако, их можно доказать и более строго. Для того, чтобы указать путь доказательства этих свойств, а также аналогичных задач об эквивалентности (равенстве) двух множеств, докажем свойство 4). Пусть  - некоторый элемент множества  принадлежит множеству   Тогда по определению дополнения    Значит   и , , то есть  и  а это означает, что

Таким образом, мы показали, что . Покажем теперь обратное включение.

Пусть  Тогда  и  т. е.  и . Значит,  или . Итак,  Если  и , то множества  и  равны. Свойство 4) доказано.

 

1.2. Элементы комбинаторики

Напомним, что комбинаторика занимается способами подсчета числа элементов различных конечных множеств. Число элементов некоторого множества  обозначим через

Правило сложения. Если множества  и  не пересекаются, т.е.  то

Пример 6. Пусть ={1,3,5}, ={2,4,6}. Тогда

Пример 7. ={1,2,3,5}, ={2,4,6}.

Используя принцип индукции, нетрудно получить аналогичное правило для конечного числа n попарно непересекающихся множеств:

Правило умножения. Пусть  и  произвольные множества.  Декартовым произведением  этих множеств будем называть множество упорядоченных пар , где

Пример 8. =={1,2.3,4,5,6}, ={11,12,...,16,21,...,66} - множество всевозможных исходов, связанных с бросанием двух игральных костей.

Пример 9. =  = {0.1.2,...,9} - множество цифр.

Тогда ={00,01,...,99} - множество всех двузначных чисел.

Число элементов декартова произведения  конечных множеств  и  равно произведению чисел  и  элементов этих множеств:

Правило умножения для произведения конечного числа множеств:

Пример 10. Число всевозможных двоичных чисел длины 10 (т.е. последовательностей из десяти нулей и единиц) будет равно:

Перестановки. Перестановками из  элементов называются взаимно однозначные отображения множества из  элементов на себя. Число всех перестановок из  элементов равно:

Пример 11. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за стол на 5 стульях с номерами от 1 до 5? Всего таких способов

Выборки. Пусть задано множество  с элементами  которое назовем генеральной совокупностью.

Выборкой объема  из генеральной совокупности  называется упорядоченная последовательность , где  - некоторое подмножество индексов из множества .

Эту последовательность можно образовать следующим образом  выбираем из всей генеральной совокупности,  - из генеральной совокупности без элемента  и т.д. Такая выборка называется выборкой без возвращения. Ясно, что должно быть

Поставим вопрос: сколько выборок объема  без возвращения можно произвести из генеральной совокупности из  элементов?

Рассуждаем следующим образом: на первом месте может стоять любой из  элементов, элемент  можно выбрать  способами и т.д., последним -ым элементом выборки  может быть любой из оставшихся  элементов.

Таким образом, используя правило умножения комбинаторики, находим, что искомое число совпадает с числом размещений из  по :

Пример 12. Сколькими способами можно выбрать 2 из 10 членов борцовской команды и выставить против 2-х борцов из команды противника?

Если выборку   организовать таким образом, что каждый раз выбранный элемент после его фиксации возвращать обратно в генеральную совокупность, то такая выборка называется выборкой с возвращением. Рассуждая так же, как и выше, получим, что число таких выборок равно .

Выборки без возвращения объема  из генеральной совокупности из  элементов, отличающиеся только составом, называются сочетаниями из  элементов по  и обозначаются

Число выборок без возвращения объема , имеющих одинаковый состав и отличающихся только порядком, будет .

Поэтому, число выборок, различающихся только составом, будет в  раз меньше, чем размещений :

Для сочетаний верны следующие соотношения:

Пример 13. Пусть в урне находятся , шаров, из которых  черных, – белых шаров. Сколько выборок объема , отличающихся составом, можно составить? Сколько таких выборок, содержащих ровно  черных шаров, можно составить?

Ответ на первый вопрос  -  способами. Чтобы ответить на второй вопрос, рассуждаем следующим образом: черных шаров из имеющихся  черных можно выбрать  способами. Тогда оставшиеся  белых шаров можно выбрать из  белых шаров cпособами.

Таким образом, число выборок объема , отличающихся составом и содержащих ровно  черных шаров будет (в соответствии с правилом умножения)

.

 

Упражнения к параграфу.

1.     Доказать, что

Решение. Пусть - произвольный элемент, . Если , то , если же  и  то  и в этом случае тоже   Таким образом,

                           (*)

Покажем теперь, что имеет место и обратное включение.

Пусть . Тогда  или . В первом из этих случаев имеем, что . Если же , то  и , и в этом случае тоже , т.е.

                          (**)

Соотношения (*) и (**) доказывают искомое тождество.

2. Доказать, что  

Решение. Известно правило сложения: если , то . Представим множество  как объединение двух непересекающих множеств

.

По правилу сложения

откуда следует доказательство.

3. Сколькими способами можно рассадить за стол  гостей на стульях  с номерами 1,…, , если для двоих гостей места вполне определены?

Решение. Если места для двух гостей уже определены за столом, то остаются  места для  гостей. Таким образом, задача сводится к расстановке  гостей по  местам: число способов будет .

4.  Сколькими способами можно образовать сборную команду в 10 человек из команд  и  двух городов, если классных игроков в них n(A)=12  и n(B)=8, а количество делегируемых игроков пропорционально этим числам?

Решение. В соответствии со сказанным из города  должно быть делегировано

  игроков, а из города  - 4 игрока.

Множество  способов выбора 6 игроков из 12 содержит  элементов, т. е.  Аналогично, 4 игрока из команды В можно выбрать множеством   способов с количеством элементов

По правилу умножения искомое число способов скомпонования сборной команды

5. Сколькими способами можно вычеркнуть 6 номеров из 49 в игре "Спортлото"?

6. Сколькими способами можно рассадить за круглый стол  человек так, чтобы два определенных лица оказались рядом?

7. Из двух ящиков, содержащих соответственно  -белых,  - черных и  - белых,  - черных шаров, вытаскивают по одному шару. Сколько всего различных способов вытащить при атом шары разных цветов?

8. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0.1,2,,...,9? Сколько четных двузначных чисел можно составить?

9. Из колоды в 52 карты выбирают 3 карты. Сколько существуют комбинаций, когда среди этих 3 карт окажется ровно один туз?

10. Сколькими способами можно рассадить 6 пассажиров по 10 вагонам?

11. Некто не знает шифра кнопочного замка автомобиля, состоящего из 9 кнопок. Известно, что шифр состоит из набора цифр 0,1,2,...,9. Сколько вариантов в максимуме придется ему перепробовать, чтобы завести машину?

12. Тот же вопрос, но замок состоит из 6 барабанов, на каждом из которых имеются цифры от 0 до 9.

13. Из группы 20 студентов отбирается 5 человек для контрольной  проверки знаний. Причем, по согласованию с комиссией одного представителя отбирают из числа 4 отличников и 1 - из состава 3 явных двоечников. Сколькими способами можно выбрать этих 5 человек?

14. Сколько различных билетов с указанием станций отправления и назначения нужно отпечатать, если всего на железной дороге 25 станции?

15.  Из учащихся 4-х классов составляют команду из 6 человек  для  участия  в районной математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать, если в команду должны входить представители всех классов, а число "математиков" в них равно соответственно 10, 11, 12 и 13?

16. Сколькими способами можно раздать колоду в 36 карт между 4-мя игроками?

17. Сколько различных подмножеств можно образовать из множества А =  включая и пустое подмножество?

Воспользоваться формулой Ньютона

и вытекающей из нее для любого натурального n формулой

18.           Пусть имеется  различных пар,  каждая из которых состоит из одинаковых элементов. Сколькими способами из них можно выбрать 2 элемента?

.

19. Монету бросают 10 раз подряд. Сколько при этом возможны различные последовательности из букв «Р» (решка) и «Г» (герб) длины 10?

20. В условиях задачи 19 сколько таких последовательностей, в которых буква "Р" встречается ровно 3 раза?

21. (модель Максвелла-Больцмана). Рассмотрим распределение n частиц, отмеченных номерами 1,..., по  областям фазового пространства (). Вообще-то, в каждой области может находиться любое  количество этих частиц. Однако, будем считать, что состояние рассматриваемой системы определяется числами  частиц в 1-ой,..., -ой областях фазового пространства. Описанная модель называется моделью Максвелла-Больцмана.

Сколько существует распределений  частиц по  областям, приводящих систему в состояние

22. Сколько всего существуют различных распределений  частиц по  областям пространства в модели Максвелла-Больцмана?

23. (Модель Бозе-Эйнштейна). В статистике Бозе-Эйнштейна важно только сколько частиц попало в область, но не индивидуальность попавших частиц. Сколько существует всевозможных размещений  частиц по  областям пространства в этой модели?

24. (Модель Ферми-Дирака). Согласно этой статистике в ячейке может находиться либо одна частица, либо не находиться ни одной; индивидуальности частиц также нет. Вопрос: Сколько существует различных размещений  частиц по областям пространства в модели Ферми-Дирака?

25. Сколькими способами можно распределить три билета среди 20 студентов, если: а) распределяются билеты в разные театры, а каждый студент может получить не более одного билета; б) распределяются билеты в разные театры и на разные дни, а каждый студент может получить любое (не превышающее трех) число билетов; в) распределяются равноценные билеты на вечер и каждый студент может получить не более одного билета?

26. В студенческой группе 24 человека. Необходимо избрать старосту и профорга. Сколькими способами можно образовать эту руководящую двойку, если одно лицо может занимать только один пост?

27. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга.

28. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что а) ни одна цифра не повторяется, б) цифры могут повторяться?

29. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?

30. Первый курс факультета должен представить на студенческую конференцию 10 делегатов. Сколькими способами может быть выбрана эта десятка, если на курсе учатся 70 человек?

31. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова СТАТИСТИКА? А если «слова» состоят не менее чем из трех букв?

32. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

33. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия?

34. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

35. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных?

36 Игральная кость (на ее 6 гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.

37. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

Контрольные вопросы

1.     Что изучает комбинаторика?

2.     Что определяет правило сложения и правило умножения?

3.                Какая выборка называется выборкой с возвращением и выборкой без возвращения? Приведите примеры.

4.     В чем отличие размещений и сочетаний?

5.     Для решения каких задач используют перестановки?


§ 2. СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Исходным понятием теории вероятностей является понятие пространства элементарных событий - это множество всех мыслимых исходов некоторого эксперимента. Оно будет обозначено символом , а элемент этого множества (элементарное событие) символом .

Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в построении вероятностной модели того или иного эксперимента.

Рассмотрим несколько примеров.

1.  При однократном бросании монеты пространство  состоит из двух точек:

={Г,Р},

где Г - выпадение "герба", Р - выпадение "решки".

2.  При -кратном бросании монеты

.

и общее число элементарных событий

.

В этих примерах пространство элементарных событий было конечным множеством. Можно привести многочисленные примеры экспериментов, имеющих бесконечное число возможных исходов.

3.  Монету бросают до первого появления герба

означает, что герб появится при -ом бросании монеты.

4. Задача о встрече. Два лица условились встретиться в  интервале времени . Если через  обозначим время прихода первого лица, а через  - второго, то пространство

т.е. в этом случае  представляет собой множество точек квадрата со сторонами, равными .

5. Наблюдается частица, совершающая броуновское движение.

Пространство элементарных событий - множество всех возможных траекторий частицы.

 

2.1.Случайные события - подмножества пространства

Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Таким образом, с каждым пространством элементарных событий связывают некоторое множество его подмножеств, называемых событиями и обозначаемых обычно большими латинскими буквами ,.... Точки  из  называют элементарными событиями, благоприятствующими событию .

Примеры событий:

Пример 1. Пусть монету бросают дважды и  - событие, состоящее в том, что хотя бы один раз появится «герб». Тогда = {ГГ, ГР, РГ, РР},        ={ГГ, ГР, РГ}.

Событие  – «монета выпадет одной и той же стороной»:

={ГГ, РР}.

Пример 2. В задаче о бросании монеты до первого появления герба пусть  - событие, состоящее в том, что будет сделано не больше трех бросании, - «будет сделано четное число бросаний»:

Пример 3. В задаче о встрече предположим, что каждое лицо ждет второго не больше 20 минут и событие  – «встреча состоится». Тогда .

Введем теперь отношение порядка и алгебраические операции над событиями. Эти операции являются, по существу, операциями над множествами и отличаются только терминологией.

1. Само множество  называют достоверным событием, так как никакие другие исходы эксперимента, кроме тех, которые описываются точками , по определению невозможны.

2. Пустое множество (множество, не содержащее ни одной точки ) отождествляют с событием, которое не может происходить в данном эксперименте. Его называют невозможным событием и обозначают символом .

3. События частично упорядочены:  обозначает, что если событие  происходит, то событие В также происходит. В этом случае говорят, что из события  следует, событие  {событие  влечет за собой событие ). Очевидно, для любого : .

4. Если то говорят, что  и  эквивалентны, и пишут .

5. Каждому событию  можно поставить в соответствие другое событие  называемое противоположным . Событие  происходит тогда и только тогда, когда  не происходит.

6. Суммой (объединением) событий  и  назовем событие, обозначаемое  или , которое происходит,  тогда и только тогда, когда происходит или  или , или оба вместе. Аналогичный смысл имеет сумма любого числа событий:  - событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий

Заметим, что для любого события

,,     +=,   .

7. Произведением (пересечением) события  и  назовем событие, обозначаемое  или , которое происходит, тогда и только тогда, когда происходят  и  вместе, одновременно. Отметим очевидные соотношения:

Два события  и  называются несовместимыми, если их совместное (одновременное) появление невозможно: .

8. Разность двух событий  и  (обозначается ) есть событие, происходящее тогда и только тогда  когда происходит , но не происходит .

Очевидно .

Пример 4. Бросается игральная кость, пусть  выпадение четного числа очков, В выпадение числа очков, не больше 3:

где  - выпадение  очков при бросании кости, .

Тогда событие означает, что выпадет число очков, отличное от пяти,

 «выпадет число очков, равное двум»;

А-В = {  -«выпадет число очков, равное 4 или 6»;

  «выпадет нечетное число очков».

Овал: А

Блок-схема: процесс: A+B

Блок-схема: процесс: AB

Блок-схема: процесс:          A/B

Блок-схема: процесс:  
      
              Ā


Пример 5. На квадрат случайно бросается точка (см. рис.1). Обозначим через  - точка падает в малый круг. В - точка падает в большой круг. Тогда события А+В, АВ, ,  означают попадание точки в соответствующие заштрихованные области.

                                                                                                                                    

Рис.1. Геометрическая интерпретация действий над событиями.

В более общем случае бесконечного пространства элементарных событий  рассматривают не все события, а лишь некоторые классы этих  событий, называемые алгеброй  и - алгеброй событий.

Определение. Класс F подмножеств пространства  называется алгеброй событий, если выполнятся следующие условия:

1) F;

2) из F следует, чтоF ;

3) из F следует, что F.

Определение. Алгебра событий называется -алгеброй, если из F,  следует, что

F.

Нетрудно показать, что, если F , то ,  тоже принадлежат F; невозможное событие F

В заключении приведем таблицу соответствия понятий теории множеств и теории вероятностей.

Обозначение

Терминология

Теории множеств

Терминология

Теории вероятностей

 

 

 

 

Универсальное множество

 

 

 

 

Пространство элементарных событий, достоверное событие

Элемент множества ;

некоторое множество элементов

Элементарное событие ;

событие

 

объединение множеств  и

пересечение множеств  и

сумма событий  и ;

 

произведение событий

 и

или )

,

пустое множество

дополнение

невозможное событие;

противоположное событие

 и   не пересекаются

 

 подмножество

 и  несовместимы событие  влечет за собой событие

А-В

Разность множеств  и

Разность событий  и

 

Упражнения к параграфу.

1. Из урны, содержащей черные и белые шары извлечены шаров. Пусть  - событие, состоящее в том. что -ый извлеченный шар белый. Выразить через следующие события:

а) все извлеченные шары белые,

б) хотя бы один шар будет белым,

в) ровно один шар будет белым,

г) не более  шаров белые,

д) все  шаров одного цвета.

2. Доказать равенства:

3. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами причем   Событие - попадание в круг радиуса .

Что означают события:

4. Производится стрельба по цели до первого попадания. Описать множество элементарных событий  и записать следующие события:

а) стрельба закончится до 5-го выстрела.

б) потребуется четное число выстрелов.


5. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.2. Обозначим  - выход из строя -го элемента (=1,2.3,4,5). Запишите  и , если  - событие, состоящее в том, что произойдет разрыв цепи.

Рис.2.

6. Пусть  и  - события. Найдите все события  такие, что:

а) АХ = АВ,

б)

7. Пусть  и  - подмножества плоскости  определены следующим образом:

Изобразите события 

8. Пусть : описать события .

9. Пусть. Представить  в виде объединения несовместимых событии.

10. Доказать: (А+В)-В = А-АВ = = А-В,

АС-В = АС-ВС,

(А-В)+(А-С) = А-ВС.

11. На отрезке  наудачу ставятся две точки, пусть ,  - координаты этих точек. Изобразить на плоскости  области, соответствующие событиям , , , , , , где  – «вторая точка блике к левому концу отрезка, чем первая точка к правому концу»,   – «расстояние между точками меньше половины длины отрезка».

12. Двое играют в шахматы. Событие  означает, что выиграл первый игрок, событие В - что выиграл второй. Что означают события: , ,

13. Двое стрелков поочередно стреляют по цели. Стрельба заканчивается при поражении цели кем-либо из игроков или после расхода всех патронов. Описать события  и , состоящие в прекращении стрельбы каждым из игроков, если они имели по 2 патрона.

14. Пусть A, B и C - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что а) произошло только событие A; б) произошли A и B, C не произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из событий; д) произошло одно и только одно событие.

15. В цепь включены пять элементов, как показано на рисунке, каждый из которых может отказать во время работы. Рассматриваются события Аi, заключающиеся в том, что i-й элемент отказал. Записать событие A ={цепь не работает}.

16. В ящике лежит большое количество ключей, среди которых находится нужный. Рассматриваются события Ai={Нужный ключ обнаружился при i-й попытке}. Записать событие B={Для поиска нужного ключа понадобилось не более трех попыток}.

17. Известно, что события A и B произошли, а событие C не произошло. Произошли или не произошли следующие события: A + BC; (A + B)C; AB + C; ABC?

18. Пусть - все исходы некоторого эксперимента. События , , .  Записать событие .

19. Пусть А и В – произвольные случайные события. Упростить случайное событие .

20. Упростить выражение .

Контрольные вопросы

1.                Какое явление можно назвать случайным событием, элементарным исходом?

2.                Какие виды случайных событий существуют?

3.                Как определить пространство элементарных событий?

4.                Что называется алгеброй событий?

5.                Приведите соответствия понятий теории и теории вероятностей.


 

§ 3. ВЕРОЯТНОСТЬ

Сравнивая между собой случайные события, мы часто говорим, что одно из них более вероятно, чем другое. Например, при извлечении шара из урны, содержащей 5 белых и 20 черных шаров, более вероятно появление черного шара (событие ), чем появление белого.

Чтобы придать подобным сравнениям точный количественный смысл, необходимо с каждым событием связать число, характеризующее меру (степень) объективной возможности его наступления. Это число называется вероятностью и обозначается символом  (читается: вероятность события ).

Рассмотрим случайный эксперимент с конечным или счетным числом возможных исходов - элементарных событий:

.

Пусть каждому  поставлено в соответствие число , называемое вероятностью элементарного события  и все  обладают следующими свойствами:

1)                ,

2)                .

Определение. Вероятностью  события  называется сумма вероятностей элементарных событий, составляющих данное событие

      .                                   (3.1)

Введенная таким образом вероятность события обладает следующими очевидными свойствами:

1.                Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

                                                 (3.2)

2.                 Вероятность достоверного события равна единице

.                                           (3.3)

3.                Если  и  несовместимые события (Ø), то

.                               (3.4)

Некоторые следствия:

1.                Вероятность невозможного события равна нулю

        Ø.                                            (3.5)

Доказательство очевидно.

2.                Вероятность противоположного события равна

.                                           (3.6)

Доказательство следует из соотношений , Ø и свойств вероятности.

3.                Теорема сложения. Вероятность суммы двух произвольных событий равна

       .                            (3.7)

Доказательство. Представим  и  в виде сумм несовместимых событий:

 и .

По свойству 3

 и .

Из этих равенств следует (3.7).

3а. . Это следует из теоремы сложения (3.7) и в силу неотрицательности .

4.                Если , то

.                                      (3.8)

Доказательство очевидно.

Определение. Говорят, что для данного эксперимента построена вероятностная модель , если: во-первых, указано пространство элементарных событий  и, во-вторых, каждому  приписана вероятность , причем  и . Вероятность же произвольного события, наблюдаемого в данном эксперименте, определяется по формуле (3.1).

Рассмотрим примеры:

1.                Построим вероятностную модель эксперимента, состоящего в двухкратном бросании симметричной монеты:

.

Так как монета симметрична, то все элементарные события считаем одинаково возможными и каждому из них припишем вероятность .

Рассмотрим, например, событие  - хотя бы один раз выпадет «герб»:

.

Тогда

.

2.                Пусть симметричная монета бросается до тех пор пока не выпадет «герб». Тогда

, где .

Припишем  вероятность . Очевидно

.

Подсчитаем вероятность события  - «будет произведено нечетное число бросаний»: ;

.

3.                Эксперимент состоит в однократном бросании правильной игральной кости, Необходимо найти вероятность события  состоящего в выпадении четного числа очков (событие ) или числа очков равного 5 (событие ).

Решение.

Понятно, что  и Ø, т.е.  и  несовместимые события.

Тогда

.

4.                Пусть теперь бросают 2 правильные игральные кости, а событие  состоит в выпадении четного числа очков или 5 на какой – либо из них. Найти вероятность события .

Решение.

Пусть событие  состоит в выпадении четного числа очков или 5 на 1-ой кости, событие  - на 2-ой кости.

Использование формулы (3.4) приводит нас к величине, большей 1. Дело в том, что события  и  совместимые. Поэтому здесь надо воспользоваться формулой (3.7).

.

 

3.1. Классическое определение вероятности

Ответ на вопрос о том, как задавать вероятности  элементарных событий , является трудным и лежит вне рамок теории вероятностей. Однако имеется много примеров конечных пространств элементарных событий, в которых из соображений симметрии все мыслимые исходы эксперимента можно считать равновозможными (равновероятными). В таких случаях говорят о классическом определении вероятности (определение, с которого развивалась теория вероятностей).

Пусть  содержит конечное число  элементарных событий , причем все они равновероятны: , .

Определение. Если событию  благоприятствуют  элементарных событий, т. е.  (), то вероятность этого события

.                                          (3.9)

Для решения задач на классическое определение применяются комбинаторные методы.

К таким задачам относятся, в частности, задачи, связанные с урновой схемой.

Пример. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются 6 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется один туз.

Решение. Всевозможные случаи (исходы) отбора 6 карт (общее число всех элементарных событий) из 36 - это число сочетаний из 36 по 6, т.е. . Один туз можно отобрать из 4 тузов  способами, а остальные 5 карт в наборе должны быть не тузами, что можно образовать  способами. Наборов, где один туз и пять не тузов, по правилу умножения в комбинаторике будет . Тогда искомая вероятность

.

 

3.2.Частотное определение вероятности

Частота случайного события. Рассмотрим некоторый случайный эксперимент и событие , наблюдаемое в этом эксперименте. Повторим испытание  раз. При этом пусть событие  появилось  раз. Отношение  называется частотой события          в проведенной серии испытаний.

Частота обладает следующими очевидными свойствами:

1.                ;

2.                ;

3.                Если  и  два несовместимых события, то

Частота вычисляется после проведения испытаний и она изменяется от одной серии испытаний к другой. Однако в больших сериях испытаний частота сохраняет почти постоянное значение. Из приведенной ниже таблицы видно, что при бросании симметричной монеты частота выпадения "герба" колеблется около числа 0.5, причем с увеличением числа испытаний отклонение частоты от числа 0.5 становится все меньше и меньше:

экспериментатор

число бросаний

число выпадений «герба»

частота

Ж.Бюффон

4040

2048

0.5080

К.Пирсон

12000

6019

0.5016

К.Пирсон

24000

12012

0.5005

Из сказанного следует частотное определение вероятности: если при больших  частота  события  колеблется около некоторого числа , то говорят, что событие  статистически устойчиво, а число  принимается за вероятность события .

Приведенное определение, очевидно, не является строго математическим и математическая теория вероятностей не строится, исходя из этого определения. Тем не менее оно играет важную роль для приложений: истолкование вероятностных расчетов дается через данное частотное определение. Так, если известна вероятность  некоторого события , то можно утверждать, что при большом числе испытаний  число наступлений этого события будет приблизительно равно .

Частотное определение вероятности события характеризует естественно-научное содержание понятия вероятности и не может служить ее формальным определением. Формальное определение дается при аксиоматическом построении теории вероятностей.

 

3.3. Геометрическая вероятность

Недостаточность классического определения вероятности (см. формулу (3.9)) очевидна: оно применимо к конечным множествам равновозможных элементарных событий. Рассмотрим здесь некоторое видоизменение этого определения, относящееся к бесконечным множествам и называемое геометрической вероятностью.

Формулу (3.9) классической вероятности можно обобщить на случай непрерывных множеств элементарных событий.

Пусть  - некоторая квадрируемая область на плоскости и в ней содержится другая область  с квадрируемой границей. В область  наудачу бросается точка. Спрашивается, чему равна вероятность попадания этой точки в область ? При этом считается, что вероятность попадания точки в любую подобласть  пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Тогда вероятность попадания точки в область  равна

,                                         (3.10)

где,  и  - площади областей  и  соответственно. Формула (3.10) обобщается на случай пространства  любой размерности. В зависимости от размерности  может быть длиной, площадью, объемом и т.д.

Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии . На плоскость бросают иглу длиной  (). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Пусть  - расстояние от центра иглы до ближайшей прямой (рис.3), а  - угол, составленный иглой с этой прямой. Величины  и  полностью определяют положение иглы. Следовательно, .

http://galaxy797.net/tv/lec/img151.gifhttp://galaxy797.net/tv/lec/img146.gifРис. 3.

Игла пересечет прямую (событие ) тогда и только тогда, когда выполнено условие  и . Искомая вероятность равна отношению площади, заштрихованной на рис.3 области (область ) к площади прямоугольника :

.                               (3.11)

Формулу (3.11) можно использовать для экспериментального определения числа . Предположим, что игла брошена на плоскость  раз, и пусть  - число пересечений. При достаточно большом числе испытаний в соответствии с пунктом 3.2 частота события  должна быть близка к вероятности , т.е. должно выполняться соотношение

, откуда имеем .

Таких экспериментов для определения числа  было проведено много:

экспериментатор, год

число бросаний

число пересечений

значение

Вольф, 1850

5000

2532

3.1596

Смит, 1855

3204

1218

3.1553

Лаззерини, 1901

3408

1808

3.145929

 

 

3.4. Аксиомы теории вероятностей

Аксиоматическое построение теории вероятностей было дано впервые А.Н.Колмогоровым в 1933 г. и состоит в установлении связи теории вероятностей с метрической теорией функций и теорией множеств.

С каждым опытом  свяжем некоторое конечное или счетное множество  так называемых элементарных событий , , определяемых следующим образом: 1) в результате осуществления опыта  наступает одно и только одно из событий ; 2) любое событие , связанное с опытом , представляет собой сумму некоторого множества элементарных событий.

Таким образом событие  будем отождествлять с множеством элементарных событий , при которых это событие наступает, и будем писать .

Через F - обозначим множество всех подмножеств . Для множества F будем предполагать, что выполняются следующие условия:

1). F и ØF, где Ø - пустое множество (невозможное событие),  - достоверное событие;

2) из F следует, что F ( - противоположное  событие);

3) из того, что F и F следует, что F и F;

4) из F, при , следует, что F и F.

Следовательно, F является  - алгеброй случайных событий (или соответствующих им множеств). Введем теперь аксиомы, определяющие вероятность.

A1. Каждому случайному событию  из F поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью: .

A2. .

А3. (аксиома аддитивности). Если Ø при любых , , т.е. события  попарно несовместимы, то

.

Нетрудно показать, что все свойства вероятности, приведенные выше, вытекают из этих аксиом. Введем также еще одну аксиому, называемую аксиомой счетной аддитивности или расширенной аксиомой сложения.

А4. Если событие  равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий ., то

.

Расширенная аксиома сложения эквивалентна следующей аксиоме непрерывности: Если последовательность событий  такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее (т.е. ) и произведение всех событий  есть невозможное событие, то

 при .

Множество  называется пространством элементарных событий; F- -алгеброй случайных событий или соответствующих подмножеств множества ;  - вероятность (мера), определенная на -алгебре F.

Тройка F называется вероятностным пространством.

Таким образом, введенные Колмогоровым аксиомы позволяют строить теорию вероятностей, как часть общей теории меры, а вероятность рассматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества.

Используя сформулированные аксиомы, можно установить все полученные в § 3 свойства вероятности. Сформулируем их в виде теорем:

Теорема 1. Вероятность события , противоположного событию , равна :

.                               (3.12)

Доказательство следует из равенств , Ø и аксиом А2, А3.

Следствие. Вероятность невозможного события Ø равна 0:

                                               Ø.                                          (3.13)

В равенстве (3.12) положим , Ø.

Теорема 2. Пусть  и  - случайные события, такие, что  ( влечет ). Тогда

.                                        (3.14)

Доказательство. Т.к. , то , причем события  и  несовместимые. Поэтому по аксиоме А3 имеем

,

откуда и следует равенство (3.14).

Следствие. Если , то .

Теорема 3. Если  и  - произвольные случайные события, то

  .                    (3.15)

Эту теорему называют теоремой сложения вероятностей.

Доказательство. Событие  можно представить в виде суммы трех попарно несовместимых событий:

 (см. рис.4)

 

 

 

 

 

Рис. 4.

По аксиоме сложения А3 и теореме 2

.

Обобщая формулу (3.15) для любого числа событий, получим следующую теорему сложения.

Теорема 4. Вероятность наступления хотя бы одного из событий ,т. е.  определяется формулой:

    .                                                        (3.16)

Доказательство проводится методом индукции (предоставляется студентам).

В качестве иллюстрации формулы (3.16) рассмотрим следующий пример.

Задача о совпадениях. На отдельных карточках написаны числа . Карточки располагаются в случайном порядке. Какова вероятность того, что хотя бы одна из карточек окажется на месте с таким же номером?

Решение.

Введем следующие события:  - хотя бы одна  из карточек окажется на месте с таким же номером,  - карточка с номером  окажется на месте с номером , .

Очевидно, . Имеем:

,

,

,

......

.

По формуле (3.16) получим:

.

 

Упражнения к параграфу.

1.                В урне  белых и  черных шаров. По схеме случайного выбора с возвращением извлекаются  шаров. Найти вероятности следующих событий:

;

;

.

2.                Наудачу выбирается пятизначное число. Найти вероятности следующих событий:

;

;

3.                За круглым столом в случайном порядке садятся 5 мужчин и 5 женщин. Найти вероятности того, что два лица одинакового пола не окажутся рядом.

4.                Колода из 36 карт хорошо перемешена. Карты в случайном порядке расположили на столе слева направо. Найти вероятности следующих событий:

;

.

5.                Задача де Мере. Какое событие более вероятно:

 или

.

6.      человек, в том числе  и  становятся в случайном порядке. Найти вероятность того, что между  и окажутся  человек.

7.                В лотерее  билетов, среди которых  выигрышных. Какова вероятность выигрыша для обладателя  билетов?

8.  В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.

9.  В урне 30 шаров: 12 белых, 10 красных и 8 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

10.  Из 30 экзаменационных билетов студент может ответить на 24. Какова вероятность его успешного ответа на экзамене на билет при однократном извлечении билета?

11.  Найти вероятность того, что в наудачу написанном двузначном числе цифры разные.

12.  Набирая номер телефона, абонент забыл 2 последние цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

13.  Из цифр 0, 1, 8 составлено четырехзначное число А. Какова вероятность, что А=8888? Какова вероятность, что А содержит хоть одну восьмерку?

14.  В три вагона поезда случайным образом садятся 9 пассажиров. Найти вероятности следующих событий:

;

;

.

15.  Поток из  космических частиц регистрируются системой из  счетчиков. Каждая частица с одинаковой вероятностью попадает в любой из счетчиков. Какова вероятность того, что наличие частиц будет зарегистрировано  счетчиками?

16.  Статистика Максвелла-Больцмана:  различных частиц размещаются по  ячейкам. Найти вероятности следующих событий:

;

;

.

Найти вероятность  того, что данная ячейка содержит  частиц. Для какого значения  эта вероятность будет максимальна?

Доказать, что , если  и  возрастают так, что среднее число частиц на одну ячейку .

17.  Статистика Бозе-Эйнштейна:  неразличимых частиц распределяются по  ячейкам. Решить следующие задачи:

а) Найти вероятности следующих событий:

;

;

б) Найти вероятность  того, что в данной ячейке будет  частиц;

в) Доказать, что , когда  и  возрастают так, что .

г)Доказать, что при , , т.е. нуль - наиболее вероятное число частиц в данной ячейке.

18.  Внутри квадрата с вершинами в точках , , ,  наудачу выбирается точка . Найти вероятность того, что эта точка окажется в круге радиуса 1/2.

19.  Шар  помещен внутри эллипсоида

.

Найти вероятность того, что поставленная наугад внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

20.  Стержень длины  ломается на три части, выбирая наугад места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник.

21.  Предполагая, что все значения  и  являются равновероятными и единственно возможными, определить вероятности событий:

;

.

22.  Из отрезка  наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы?

23.  Слой воздуха толщины  содержит пылинки радиуса  в количестве  штук в одной кубической единице. Найти вероятность того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересекает ни одной пылинки.

24.  На отрезке  длины  поставлены наугад две точки  и . Какова вероятность того, что точка  окажется ближе  к точке , чем точка ?

25.  Мишень имеет форму окружности радиуса R. Стрелок выбивает 15 очков, если попадает в малый круг в центре с радиусом r, причем r<R. Какова вероятность выбить 15 очков при одном выстреле?

26.  На окружности радиуса  наугад поставлены три точки , , . Какова вероятность того, что треугольник  остроугольный?

27.  В любые моменты времени промежутка  равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит.

28.  Пусть  и  случайные события такие, что . Доказать, что .

29.  Описать пространство элементарных событий  и множество  для опыта, состоящего в однократном подбрасывании 2-х монет.

30.  В коробке находятся шары. Из коробки наугад извлекают 5 шаров и 2 из них оказались красными. Найти относительную частоту появления красного шара.

Контрольные вопросы

1.                Что называют вероятностью события?

2.                В чем сходство и отличие классического, геометрического и статистического определения вероятности?

3.                Как находится вероятность суммы, произведения событий? Для каких событий используются специальные формулы?

4.     Чему равна вероятность противоположного события?

5.     Сформулируйте аксиомы теории вероятностей.


6.      

§ 4. Условная вероятность. Независимость событий

При определении вероятности случайного события  мы опираемся на вероятностное пространство F, определяемое некоторым опытом, вернее комплексом условий , в которых этот опыт проводится, F. Если при вычислении вероятности  ничего, кроме сказанного не подразумевается, то такая вероятность называется безусловной.

В то же время, очень часто приходиться иметь дело со случаями, когда необходимо вычислять вероятность события , при дополнительном (кроме комплекса условий ) условии, что некоторое событие  уже произошло.

 

4.1. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Определение. Вероятность события , вычисляемая при условии, что некоторое другое событие  произошло, называется условной вероятностью события  и обозначается .

Пример 1. Из урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров, извлекают последовательно два шара без возвращения. Пусть  - событие «первый шар будет белым» и  - «второй шар будет белым». Тогда вероятность события  зависит от того, каким был шар, извлеченный первый раз. Если первый раз был извлечен белый шар (произошло событие ), то , если же произошло  (первый раз извлечен черный шар), то . Таким образом,

, .

Исходя из классического определения вероятности, для условной вероятности имеет место формула (при условии ):

    или , ().        (4.1)

Действительно, пусть , . Пусть событию  благоприятствуют , событию  - , а их произведению -  элементарных событий. Если произошло событие , то для события  благоприятными будут лишь  из  элементарных событий, составляющих событие . Тогда

.

В общем же случае аксиоматики Колмогорова ( - произвольное множество) формула (4.1) принимается за определение условной вероятности.

Определение. Пусть F - вероятностное пространство, , F. Условной вероятностью события F при условии, что произошло , называют

.

Условная вероятность обладает такими же свойствами, что и безусловная:

1.   - это следует из того, что ;

2.   и Ø, так как  и ØØ;

3.  , если ; в частности, ;

4.  , если  и  несовместимые события; тогда  и  также несовместимы и .

5.  Для произвольных событий  и

.

Действительно, из формулы (4.1) и правила сложения вероятностей имеем:

.

6.        - следует из 2), так как .

Пример 2. Рассмотрим семьи, имеющие двух детей. Спрашивается, какова вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики при условии, что:

а) старший ребенок - мальчик?

б) по крайней мере один из детей – мальчик?

Решение. Пространство элементарных событий

,

где  означает, что старший ребенок – мальчик, а младший – девочка и т. д. Будем считать, что каждый исход равновозможен:

.

Обозначим через  - событие «старший ребенок - мальчик»,  - «младший ребенок - мальчик». Тогда  есть событие «по крайней мере один из детей мальчик»,  - «оба ребенка мальчики». Тогда, считая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, получим:

,

.

Формулу (4.1) можно записать в следующем виде:

       .                                (4.2)

Соотношение (4.2) называют теоремой умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило.

Методом индукции можно показать, что

.

Пример 3. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, двое игроков поочередно вытаскивают по одному шару (без возвращения). Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Найти вероятность выигрыша для каждого из игроков.

Решение. Введем события:  - «выигрывает первый игрок»,  - «выигрывает 2-ой игрок»,  - «игрок  при -ой попытке вытащил белый шар»,  - «игрок  при –ой попытке вытащил белый шар».

Тогда

, ;

.

.

Впрочем, ясно, что , и вероятность события  можно было найти из свойства .

 

4.2. Формула полной вероятности и формула Байеса

Определение. Говорят, что случайные события  образуют полную группу событий, если в результате опыта одно из них обязательно произойдет, т. е.

.

Определение. События  называются попарно несовместимыми, если для любых

Ø, .

Теорема 1. Пусть  - полная группа попарно несовместимых событий и  - событие, связанное с некоторым опытом. Тогда

.                            (4.3)

Доказательство. Так как  образует полную группу попарно несовместимых событий, то событие  может произойти только одновременно с одним из них. Поэтому можно записать, что

.

События попарно несовместимы, так как  попарно несовместимы. Таким образом,

Из последнего соотношения и теоремы умножения (4.2) получаем формулу (4.3).

Пример 4. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятности взять «несчастливый» билет: у того, кто подошел первым или у того, кто подошел вторым?

Решение. Вероятность взять «несчастливый» билет для первого студента равна 5/25=1/5. Пусть – событие “второй студент взял “несчастливый” билет”. Можно сделать предположения: – первый студент взял «несчастливый» билет,  – первый взял «счастливый» билет. Тогда по формуле (4.3) имеем

Итак, второй студент возьмет “несчастливый” билет с той же вероятностью 1/5, что и первый.

Формула (4.3) называется формулой полной вероятности, а события , , …,  называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть , , …,  - образуют полную группу попарно несовместимых событий. Тогда, при условии , имеют место формулы

          (4.4)

Формулы (4.4) называют формулами Бейеса.

Доказательство следует из теоремы умножения и формулы (4.3):

откуда имеем

Схема применения формул (4.4) при решении практических задач следующая. Пусть событие  может наступить с одним из событий , причем вероятности  известны до опыта, известны также условные вероятности . Производится опыт, в результате которого наступило событие А. Это вызовет переоценку вероятностей . Формулы Байеса и дают выражения для условных вероятностей  (  называют гипотезами относительно события ).

Пример 5. На сборку поступают детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в n  раз превышает объем продукции второго завода. Доля брака на первом заводе составляет р1, на втором – р2 . Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом заводе?

Решение. Пусть событие - «деталь изготовлена на первом заводе»,  – «деталь изготовлена на втором заводе» и  – «наугад взятая деталь оказалась бракованной». Тогда

Подставляя сюда вероятности

получим

 

4.3. Независимость случайных событий

Понятие независимости событий играет, пожалуй, центральную роль в теории вероятностей: именно это понятие выделяет теорию вероятностей из общей теории измеримых пространств с мерой.

Определение. Два события  и  называются независимыми, если их условные вероятности совпадают с безусловными, т.е. вероятность наступления одного из них не зависит от того наступило  другое событие или нет:

, .

При этом теорема умножения (4.2) примет вид

Р(АВ)=Р(А)Р(В).                                             (4.5)

Впрочем, формула (4.5) принято считать за определение независимости двух событий.

Теорема 3. Если  и  – независимые события, то будут независимыми также события  и

Докажем, что  и  независимы. Так как

Следовательно,  и  независимы.

Доказательство остальных свойств предоставляем читателю.

Определение. Случайные события  называются независимыми в совокупности, если для любого    и для любого набора индексов  () имеет место равенство

События  называются попарно независимыми, если при любых    

Очевидно что, если  независимы в совокупности, то любые два события  также независимы, т.е. события  попарно независимы. Однако, из попарной независимости не следует независимость в совокупности. В этом убеждаемся на следующем примере.

Пример С.Н. Бернштейна. На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый, голубой цвета, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Обозначим через К, З, Г – события, состоящие в том, что при бросании тетраэдра на плоскость выпадет грань с соответствующим цветом.

Так как каждый из трех цветов нанесен на две грани, то

Далее, ,  и , т.е. события К, З, Г попарно независимы.

Однако, , т.е. события К, З, Г не являются независимыми в совокупности.

Возникает естественный вопрос. Как же определить независимость событий на практике? Проверка выполнения формулы (4.5) – задача,  во-первых, нелегкая. С другой стороны, , как правило, и нужно бывает вычислить, и проверять ее разложение ни к чему.

На практике часто при определении независимости исходят из физических соображений. Так, если некоторые события обусловлены физическими процессами, пренебрежимо слабо связанными между собой, то их можно считать независимыми.

Во многих случаях независимость событий определяют из соображений симметрии. Это, например, имеет место при рассмотрении различных событий, связанных с бросанием костей, монет, с раздачей игральных карт, с урновыми схемами. Основным требованием здесь является неизменность комплекса условий, при которых проводится эксперимент.

Различие физических процессов, с которыми связаны случайные события, однако, не является обязательным условием их независимости. Может быть и так, что события, связанные с одним и тем же физическим процессом независимы. Так, например, независимы различные элементы траектории частицы при моделировании процесса переноса излучений.

 

Упражнения к параграфу.

1.            Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что по крайней мере на одной выпадает шестерка, если на всех трех костях выпали разные грани?

2.            Известно, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наудачу выбранное лицо – дальтоник. Какова вероятность того, что это мужчина (считать, что мужчин и женщин одинаковое количество)?

3.            Дано Р(А/В)=  Р(В/А)=0,6.

Вычислить Р(А),  

4.            Доказать, что если Р(А)=0,9;  Р(В)=0,8,  то Р(А/В)0,875.

5.            Доказать, что

6.            Доказать, что , если Ø и .

7.            Пусть  и  - независимые события и . Доказать, что либо , либо  имеет вероятность, равную единице.

8.            Пусть  – попарно независимые события. Доказать, что

9.  Стрелок  попадает в мишень с вероятностью 0,6, стрелок   – с вероятностью 0,5 и стрелок - с вероятностью 0,4. Стрелки сделали залп по мишени. Обнаружено два попадания. Что более вероятно: попал  в мишень или нет?

10.  Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?

11.  Из колоды карт (их 36) наугад вынимают 2 карты. Найти вероятность, что среди них окажется хотя бы одна "дама".

12.  В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее наудачу вынимают (без возврата) 2 шара. Какова вероятность того, что они оба будут разных цветов?

13.  Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.

14.  Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором - 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

15.  Вероятность хотя бы одного попадания стрелка в мишень при трех выстрелах равна 0,992. Найдите вероятность промаха при одном выстреле.

16.   Сколько раз нужно подбросить две игральные кости, чтобы вероятность по крайне мере одного появления шестерки была больше, чем ½?

17.   В некоторой  местности вероятность того, что погода в данный день будет такой же, как и в предыдущий, равна , если предыдущий день был дождливый и , если предыдущий день был не дождливый. Вероятность того, что 1-ый день года дождливый, равна . Найти вероятность того, что -ый день дождливый и предел этой вероятности при .

18.  Имеется  элементов, расположенных в некотором порядке. Случайным образом они переставляются. Какова вероятность того, что хотя бы один элемент окажется на своем месте?

19.  Представим себе  ячеек, в которые случайно размещаются  различных частиц. Каждая частица может попасть в любую из  ячеек. Найти вероятности следующих событий:

={в - ую ячейку попало   частиц},

={хотя бы одна ячейка окажется пустой}.

20.  При одном цикле осмотра радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект будет обнаружен с вероятностью . Проведены  независимых циклов осмотра. Какова вероятность того, что объект будет обнаружен?

21.   Имеется m радиолокационных станций, каждая  из которых за один цикл осмотра обнаруживает объект с вероятностью  (независимо от других циклов и  других станций). За время  каждая станция успевает совершить  циклов осмотра. Найти вероятности следующих событий:

={за время  объект будет обнаружен по крайней мере одной станцией},

={объект будет обнаружен каждой станцией}.

16. Электрическая цепь собрана по схемам, изображенным на рис 5.

                                    а)                                          б)

 

 

 

в)                                                                г)

 

д)

Рис. 5

Пусть ={за время  выйдет из строя -ый элемент цепи} и , .

Разные элементы выходят из строя независимо друг от друга. Вычислить вероятность выхода цепи из строя за время  для каждой из указанных схем.

17.  Для повышения надежности прибора он дублируется таким же прибором. Надежность прибора равна . При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на другой прибор. Найти надежность этой системы приборов.

18.  В  урнах находятся  шаров, из которых  белые. Наудачу выбирают урну и из нее шар. Какова вероятность того, что он окажется белым.

19.  Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент  столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента , испытает столкновение в промежутке  и  равна  Найти вероятность того, что время свободного пробега молекулы будет больше t.

20.  Два лица играют в «орла». Если выпадет та сторона монеты, которая была названа игроком, то он выигрывает 1 руб., в противном случае столько же проигрывает. В начале у игрока было  руб. и он ставит целью довести свой капитал до суммы в  руб. Игра продолжается до тех пор пока либо игрок наберет заветную сумму, либо разорится, проиграв весь свой капитал. Какова вероятность разорения игрока?

21.  Расследуются причины неудачного запуска космических ракет, о которых можно высказать  четыре предположения (гипотезы) . По данным статистики , , , . В ходе расследования обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие ). Условные вероятности события  по той же статистике равны , , , . Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

22.  Числа натурального ряда , написанные на отдельных карточках, перемещали и расположили в случайном порядке. Какова вероятность  того, что хотя бы одно число окажется на своем месте? Найти .

23.  Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-ым стрелком равна 0,6; 2-ым – 0,7; 3-им – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2; при двух – равна 0,6; при трёх – цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

24.  В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников и 15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера равна 0,2; для второразрядника эта вероятность равна 0,1. Случайно выбранный участник выиграл. Найти вероятность того, что это был второразрядник.

25.  В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй —20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

26.  В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразил мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

27.  В вычислительной лаборатории имеется Шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

28.  В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов?

29.  Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом первый завод производит 25%, второй завод — 35% и третий — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции первого завода, 3% от продукции второго и 4% от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие бракованное.

30.  Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили 1 шар в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что после этого из второй урны будет вынут белый шар.

31.  На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго 3000 деталей.

32.  Из 20 стрелков 15 попадают в мишень с вероятностями 0,5; 5 стрелков – с вероятностями 0,8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в мишень.

33.  На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

34.  Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время   в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном 0,7. Найти полную вероятность   выхода прибора из строя за время  .

35.  Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

36.  В двух пакетах по 20 конфет одинаковой формы, в первом пакете 5 конфет с начинкой, а во втором - 8. Наугад выбранная конфета оказалась с начинкой. Какова вероятность того, что она была вынута из второго пакета?

37.  Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом 1, и две коробки деталей, изготовленных заводом 2. Вероятность того, что деталь завода 1 стандартна, равна 0,9, а завода 2 - 0,8. Сборщик извлек стандартную деталь из наудачу взятой коробки. Какова вероятность того, что она изготовлена заводом №2?

38.  Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Какова вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком?

39.  В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Купленная новая продукция окажется высшего сорта. Какова вероятность того, что данная продукция принадлежит первому предприятию?

Контрольные вопросы

1.     В чем различия условной и безусловной вероятностей?

2.     Какие события называются независимыми?

3.     Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

4.     При решении каких задач используется формула полной вероятности?

5.     При решении каких задач используется формула Бейеса?

6.     Выведите формулу Байеса.


 

§ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ

 

Пусть производятся последовательных испытаний (опытов), в каждом из которых происходит одно из событий  с вероятностями

Испытания считаются независимыми, если вероятность появления события  в –ом испытании  не зависит от исходов предыдущих  испытаний. Каждому такому испытанию сопоставим вероятностное пространствоF, где , F – состоит из всех подмножеств , а вероятность P определена для каждого события Ак равенством

.

Результату же  опытов отвечает вероятностное пространство F, где , FFF, а вероятность

                                    (5.1)

 

5.1. Схема Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей

Простейшим частным случаем последовательности независимых испытаний является, так называемая, схема Бернулли.

Пусть  – случайное событие, которое является результатом опыта, проводимого при некотором комплексе условий . Отвлекаясь от множества всех исходов опыта, сосредоточим внимание на одном вопросе: в результате опыта происходит событие  или не происходит. Таким образом, пространство элементарных событий , связанное с опытом мы сводим к двум событиям  и  составляющим, как видим, полную группу, т.е.  (достоверное событие). Причем .

Рассмотрим пример с бросанием правильной игральной кости. Пусть  – выпадение числа очков, равное 6. Тогда  - это выпадение любой из остальных граней (1,2,3,4,5). Условимся считать появление события  «успехом» и обозначать единицей, а появление  «неудачей» и обозначать нулем. Пусть вероятность успеха , тогда вероятность неудачи . Приведенная простейшая схема независимых испытаний называется схемой Бернулли.

Интерес представляет, конечно, не один опыт, а множество его повторений в независимых условиях. Пространство элементарных событий , отвечающее результату  таких испытаний, является прямым произведением  пространств

а элементарное событие  представляет собой  последовательность нулей и единиц длины , причем на -ом месте в этой последовательности стоит 1 в случае «успеха» в –ом испытании или 0 в случае «неудачи»:   . Число всех таких последовательностей (число всех элементов ) равно  (доказать).

Согласно формуле (5.1) каждому элементарному событию  ставится в соответствие вероятность.

                                            (5.2)

где m– число единиц ((n-m)-число нулей) в последовательности .

В схеме Бернулли часто решается следующая задача:

Определить вероятность того, что в  испытаниях ровно  раз наступит «успех». Обозначим эту вероятность через

Теорема. Вероятность того, что в  испытаниях схемы Бернулли ровно  раз наступит «успех» (интересующее нас событие), определяется формулой

                   (5.3)

Доказательство. Обозначим через , последовательность (элементарное событие), в которой на  -ых местах стоят «1», а на остальных  местах «0». Число таких последовательностей, очевидно, равно числу способов выбора  мест для «1», т. е.   , а вероятность каждой из таких последовательностей равна  (формула (5.2)).

Пусть  – событие «в  независимых испытаниях интересующее нас событие («успех») наступит ровно  раз».

Ясно что  – это подмножество  элементарных событий указанного выше вида. Тогда согласно формуле (5.1) имеем:

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из урны извлекают шар, фиксируют его цвет, после чего шар обратно возвращают в урну. Такой опыт повторяют пять раз. Какова вероятность того, что в этих испытаниях белый шар появится ровно 2 раза.

Решение. Независимость испытаний обеспечивается неизменностью условий их проведения (извлеченный шар возвращается обратно). Вероятность извлечения белого шара («успех») при каждом испытании одна и та же и равна 4/6. Поэтому мы имеем дело со схемой Бернулли и по формуле (5.3) искомая вероятность равна

Если извлеченный шар больше не возвращать в урну, то испытания, очевидно, будут зависимыми: вероятность извлечения белого шара в последующем испытании зависит от исходов предыдущих испытаний.

Формула (5.3) называется формулой Бернулли, а совокупность вероятностей  называют биномиальным законом распределения вероятностей.  

Это название связано с тем, что выражение (5.3) является коэффициентом при   в разложении бинома  по степеням :

При  вероятность  совпадает с  членом бинома Ньютона:

Таким образом,

Это же можно получить и из теоретико-вероятностных соображений. Действительно, вероятности  представляют собой вероятности событий  состоящих в появлении интересующего события  в  независимых испытаниях 0,1,2,…, раз. События  образуют полную группу попарно несовместимых событий. Поэтому

Рассмотрим некоторые свойства вероятностей .

При n фиксированном  представляет собой некоторую функцию аргумента k  (k=0,1,…n)   . Исследуем эту функцию. Найдем, в частности, при каком k функция  принимает наибольшее значение. Для этого рассмотрим отношение

Это отношение может быть или больше, или меньше или равно 1:

а) если  , то получим, что  при ;

б) если , то  при ;

в) и, наконец, если это отношение равно 1, то при .

Обозначим . Таким образом, при всех  функция   возрастает, а при  - убывает, при  .

Следовательно, вероятность с увеличением  сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте  убывает. Если  является целым числом, то функция  принимает максимальное значение в двух точках:  и . Если же  нецелое число, то функция  имеет единственный максимум; он достигается при ближайшем к  справа (так как функция  возрастает) целом значении , то-есть, при таком , которое заключено между  и

Значение , при котором  принимает максимальное значение, называется наиболее вероятным числом успехов в  испытаниях Бернулли.

Пример 2. Монета подбрасывается 30 раз. Каково наиболее вероятное число выпадения герба?

Решение. В данном случае =30, = 

Так как  не является целым числом, то наиболее вероятное число выпадения герба будет 15.

 

 

 

5.2. Полиномиальное распределение вероятностей

Возвращаясь к общей схеме последовательности независимых испытаний, предположим, что при каждом испытании может произойти одно из событий  причем вероятности этих событий равны соответственно ,  и не меняются от испытания к испытанию. Тогда имеет место

Теорема. Вероятность  того, что в  независимых испытаниях событие  появится  раз, событие  раз,…, событие  раз  определяется формулой:

                      (5.4)

Доказательство. Пространство элементарных событий в данном случае представляет собой всевозможные последовательности событий длины , где индексы  Обозначим через  событие, состоящее в том, что в  испытаниях событие  появится  раз,  раз,…,  раз, то-есть  состоит из элементарных событий (последовательностей) , у которых на m1 местах «стоят» событие , на  местах – , и т.д., на  местах – событие . Вероятность каждого равна

Число элементарных событий, входящих в B, можно подсчитать следующим образом. Исход