Модуль 2. Тема 4. Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание случайной величины

2. Дисперсия

3. Среднее квадратическое отклонение

Закон распределения и плотность распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства закона распределения случайной величины. Такие числа принято называть числовыми характеристиками случайной величины.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание (центр распределения случайной величины), мода, медиана; характеристики рассеяния: дисперсия (отклонение случайной величины от ее центра), среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание случайной величины. Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины имеющей закон распределения называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание обозначается через (или , , , ). Таким образом, по определению

. (1)

Если число возможных значений случайной величины конечно, то

, (2)

Заметим, что ряд в правой части (1) предполагается сходящимся (в противном случае случайная величина не имеет математического ожидания).

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением случайной величины. Действительно, так как , то

.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятности , называется число

. (3)

Интеграл в правой части равенства (3) предполагается абсолютно сходящимся, т.е.

в противно случае непрерывная случайная величина не имеет математического ожидания.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е. .

2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, т.е. .

3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий, т.е. ().

4. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е. .

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если независимы, то .

Пример. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб., 50 по 50 руб., 100 по 10 руб., 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х- суммы выигрыша на один билет таков:

Х	0	1	10	50	500
р	0,69	0,15	0,1	0,05	0,01

Контроль: 0,01+0,05+0,1+0,15+0,69=1. Находим МХ:

руб.

Дисперсия. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания:

(4)

Обозначается дисперсия через . Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:

. (5)

Это позволяет записать формулу для ее вычисления в другом виде:

- для дискретной случайной величины,

- для непрерывной случайной величины.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат, т.е.

3. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. если и независимы, то .

4. Дисперсия не изменится, если к этой случайной величине прибавить постоянную, т.е. .

5. Если случайные величины и независимы, то .

Доказательства свойств.

1. .

2.

.

3. Используя формулу (5), получаем

4. .

Из свойств (2) следует, что .

Среднее квадратическое отклонение. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса имела размерность случайной величины, используют еще одну числовую характеристику - среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии, обозначают через .

Таким образом, по определению .

Для изучения свойств случайного явления, независящих от выбора масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину приводят к стандартному виду:

.

Геометрически это означает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной математическому ожиданию, затем делят на среднее квадратическое отклонение .

Случайную величину называют стандартной случайной величиной. Ее математическое ожидание рано нулю, а дисперсия равна единице. Действительно

,

.

То есть - центрированная () и нормированная () случайная величина.